Межиров родился в Москве 26 сентября 1923 года. В 1941 году со школьной скамьи ушел на фронт. В 1948 году поступил в Литературный институт имени Горького. Первая книга стихов "Дорога далеко" вышла в 1947 году. Особенную известность приобрела опубликованная в ней баллада "Коммунисты, вперед!".

Поэт много занимался переводами, особенно грузинских и литовских авторов. Он выпустил несколько книг стихов: "Новые встречи", "Коммунисты, вперед!", "Возвращение", "Прощание со снегом" и другие. Последний сборник Межирова "Бормотуха" увидел свет в 1991 году.

Александр Межиров был членом Союза писателей СССР, он награжден орденами Трудового Красного Знамени, Отечественной войны 2-й степени, медалями "За оборону Москвы", "За оборону Ленинграда", "За победу над Германией". Межиров был удостоен звания лауреата Государственной премии СССР и лауреата Государственной премии Грузинской ССР.

Народный художник России Борис Мессерер назвал Межирова "замечательным, тонким, трагическим поэтом, человеком, занимавшим серьезные общественные позиции". По мнению художника, Межиров стал предтечей поэтов "шестидесятников".