Авшаров был профессором кафедры мастерства актера Театрального института имени Щукина; сам он окончил Щукинское училище в 1961 году, на курсе Владимира Этуша. В 1995 году Авшаров стал народным артистом России. Также он был худруком театра "Студия имени Михаила Чехова".

Среди ролей Авшарова в театре - Наташин в "Женском монастыре", Командор в спектакле "Дон Жуан, или любовь к геометрии", посаженный отец в "Клопе", учитель музыки в "Женитьбе Фигаро", Тяпкин-Ляпкин в постановке "Ревизора", поп Африкан в булгаковском "Беге", Стародум в "Недоросле", Дюбатон в "Орнифле". Последней работой Авшарова в театре стал спектакль "Триумф на Триумфальной".

Кроме того, актер сыграл в таких фильмах, как "Адъютант его превосходительства", "Копилка", "Азазель", "Ликвидация".

Прощание с Юрием Авшаровым состоится 2 февраля, время и место пока не уточняются.