Равномерным прямолинейным движением называют такое происходящее по прямолинейной траектории движение, при котором тело (материальная точка) за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

Перемещение тела в прямолинейном движении обычно обозначают s. Если тело движется по прямой только в одном направлении, модуль его перемещения равен пройденному пути, т.е. |s|=s. Для того, чтобы найти перемещение тела s за промежуток времени t, необходимо знать его перемещение за единичное время. С этой целью вводят понятие скорости v данного движения.

Скоростью равномерного прямолинейного движения называют векторную величину, равную отношению перемещения тела к промежутку времени, в течение которого было совершено это перемещение:

Направление скорости в прямолинейном движении совпадает с направлением перемещения.

Поскольку в равномерном прямолинейном движении за любые равные промежутки времени тело совершает равные перемещения, скорость такого движения является величиной постоянной (v=const). По модулю

Из формулы (1.2) устанавливают единицу скорости.

В настоящее время в качестве основной системы единиц используют Международную систему единиц (сокращенно СИ - система интернациональная). Об этой системе рассказано далее. Единицей скорости в СИ является 1 м/с (метр в секунду); 1 м/с есть скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором материальная точка за 1 с совершает перемещение 1 м.

Пусть ось Ох системы координат, связанной с телом отсчета, совпадает с прямой, вдоль которой движется тело, а x₀ является координатой начальной точки движения тела. Вдоль оси Ох направлены и перемещение s, и скорость v движущегося тела. Из формулы (1.1) следует, что s=vt. Согласно этой формуле, векторы s и vt равны, поэтому равны и их проекции на ось О_х:

Теперь можно установить кинематический закон равномерного прямолинейного движения, т. е. найти выражение для координаты движущегося тела в любой момент времени. Поскольку х=x₀+s_x, с учетом (1.3) имеем

По формуле (1.4), зная координату x₀ начальной точки движения тела и скорость тела v (ее проекцию v_xх), в любой момент времени можно определить положение движущегося тела. Правая часть формулы (1.4) является алгебраической суммой, так как и х₀, и v_x могут быть и положительными, и отрицательными (графическое представление равномерного прямолинейного движения дано далее). на ось О

Средняя и мгновенная скорости
прямолинейного неравномерного движения

Движение, при котором за равные промежутки времени тело совершает неравные перемещения, называют неравномерным (или переменным). При переменном движении скорость тела с течением времени изменяется, поэтому для характеристики такого движения введены понятия средней и мгновенной скоростей.

Средней скоростью переменного движения v_cp называют векторную величину, равную отношению перемещения тела s к промежутку времени t, за который было совершено это перемещение:

Средняя скорость характеризует переменное движение в течение только того промежутка времени, для которого эта скорость определена. Зная среднюю скорость за данный промежуток времени, можно определить перемещение тела по формуле s=v_ср·t лишь за указанный промежуток времени. Найти положение движущегося тела в любой момент времени с помощью средней скорости, определяемой по формуле (1.5), нельзя.

Как указывалось выше, когда тело движется по прямолинейной траектории в одну сторону, модуль его перемещения равен пройденному телом пути, т.е. |s|=s. В таком случае среднюю скорость определяют по формуле v=s/t, откуда имеем

Мгновенной скоростью переменного движения называют скорость, которую тело имеет в данный момент времени (и следовательно, в данной точке траектории).

Выясним, каким способом можно определить мгновенную скорость тела. Пусть тело (материальная точка) совершает прямолинейное неравномерное движение. Определим мгновенную скорость v этого тела в произвольной точке С ее траектории (рис. 2).

Выделим маленький участок Ds₁ этой траектории, включающий в себя точку С. Этот участок тело проходит за промежуток времени Dt₁. Разделив Ds₁ на Dt₁, найдем значение средней скорости v_cp1 =Ds₁/Dt₁ на участке Ds₁. Затем для промежутка времени Dt₂<Dt₁ определим среднюю скорость v_cp2 =Ds₂/Dt₂ на участке Ds₂<Ds₁. Затем для промежутка времени Dt₃<Dt₂ определим среднюю скорость v_cp3 =Ds₃/Dt₃ на участке Ds₃ и т.д. (участки траектории мы выбираем так, что точка С всегда находится внутри рассматриваемого участка).

Очевидно, что чем меньше промежуток времени Dt, тем меньше длина участка Ds, проходимого телом, и тем меньше значение средней скорости v_cp=Ds/Dt отличается от значения мгновенной скорости в точке С. Если промежуток времени Dt стремится к нулю, длина участка пути Ds бесконечно уменьшается, а значение средней скорости v_cp на этом участке стремится к значению мгновенной скорости в точке С. Следовательно, мгновенная скорость v есть предел, к которому стремится средняя скорость тела v_cp, когда промежуток времени движения тела стремится к нулю:

Из курса математики известно, что предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю (если этот предел существует), представляет собой первую производную этой функции по данному аргументу. Поэтому формулу (1.7) запишем в виде

где символы d/dt или штрих справа вверху у функции обозначают производную этой функции. Следовательно, мгновенная скорость есть первая производная пути по времени.

Если аналитический вид зависимости пути от времени известен, с помощью правил дифференцирования можно определить мгновенную скорость в любой момент времени. В векторной форме

Равноускоренное прямолинейное движение. Ускорение

Такое прямолинейное движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, называют равноускоренным прямолинейным движением.

Быстроту изменения скорости характеризуют величиной, обозначаемой а и называемой ускорением. Ускорением называют векторную величину, равную отношению изменения скорости тела v-v₀ к промежутку времени t, в течение которого это изменение произошло:

Здесь V₀ - начальная скорость тела, т. е. его мгновенная скорость в момент начала отсчета времени; v - мгновенная скорость тела в рассматриваемый момент времени.

Из формулы (1.9) и определения равноускоренного движения следует, что в таком движении ускорение не изменяется. Следовательно, прямолинейное равноускоренное движение есть движение с постоянным ускорением (a=const). В прямолинейном равноускоренном движении векторы v₀, v и а направлены по одной прямой. Поэтому модули их проекций на эту прямую равны модулям самих этих векторов, и формулу (1.9) можно записать в виде

Из формулы (1.10) устанавливается единица ускорения.
В СИ единицей ускорения является 1 м/с² (метр на секунду в квадрате); 1 м/с² - это ускорение такого равноускоренного движения, при котором за каждую секунду скорость тела увеличивается на 1 м/с.

Формулы мгновенной и средней скоростей
равноускоренного движения

Из (1.9) следует, что v= v₀+at.

По этой формуле определяют мгновенную скорость v тела в равноускоренном движении, если его начальная скорость v₀ и ускорение а известны. Для прямолинейного равноускоренного движения эту формулу можно записать в виде

Получим выражение для средней скорости прямолинейного равноускоренного движения. Из формулы (1.11) видно, что v=v₀ при t=0, v₁=v₀+a при t=1, v₂=v₀+2a=v₁+a при t=2 и т. д. Следовательно, в равноускоренном движении значения мгновенной скорости, которые тело имеет через равные промежутки времени, образуют такой ряд чисел, в котором каждое из них (начиная со второго) получается путем прибавления к предшествующему постоянного числа а. Это значит, что рассматриваемые значения мгновенной скорости образуют арифметическую прогрессию. Следовательно, средняя скорость прямолинейного равноускоренного движения может быть определена по формуле

где v₀ - начальная скорость тела; v - скорость тела в данный момент времени.

Уравнение равноускоренного прямолинейного движения

Найдем кинематический закон прямолинейного равноускоренного движения. Для этого используем формулы (1.6), (1.11) и (1.13). Из них следует, что s=v_ср·t=(v₀+v)·t/2=(2v₀+at)·t/2,
следовательно,

Если начальная скорость тела равна нулю (v₀=0), то

По формулам (1.14) и (1.15) определяют путь, пройденный телом в равноускоренном прямолинейном движении (модуль перемещения тела, не изменяющего направления своего движения). Для случая, когда тело движется по оси О_х. из точки с координатой х₀, из формулы (1.14) получаем уравнение, выражающее зависимость координаты этого тела от времени. Поскольку

Формула (1.16) есть уравнение прямолинейного равноуско-ренного движения (кинематический закон этого движения). Следует помнить, что в формуле (1.16) v_0x и а_x могут быть как положительными, так и отрицательными, так как это проекции векторов v₀ и а на ось О_х.

Связь перемещения тела с его скоростью

Установим связь модуля перемещения s тела, совершающего равноускоренное прямолинейное движение, с его скоростью. Из формулы (1.10) находим, что t=(v-v₀)/a. Подставив это выражение и формулу (1.13) в формулу (1.7), получим

Если начальная скорость тела равна нулю (v₀=0), то v²=2as.