WIIKI.RU: Физика | Естественные и точные науки

Физика - это область естествознания, наука. Она изучает самые общие и фундаментальные закономерности, которые определяют структуру и эволюцию материальн... читать далее »

Статьи по Физике

17.10.2009 00:00

Равенство инертной и гравитационной масс. Принцип эквивалентности.. Физика.

Равенство инертной и гравитационной масс

Массу тела можно определить путем измерения испытываемого телом ускорения a под действием известной силы F

$M_{ин}=\frac{F}{a} .$

(1)

Определяемая таким путем масса M_ин известна под названием инертной массы.

Массу можно также определить, измеряя силу ее тяготения к другому телу, например, к Земле

$\frac{GM_{З}M_{гр}}{R_{З}^2}=F .$

(2)

Определяемая таким образом масса M_гр носит название гравитационой массы. В формуле (2) M_З — масса Земли, а R_З — её радиус.

Замечательно, что инертные массы всех тел в пределах точности измерений пропорциональны их гравитационным массам. ¹ Простейший опыт по проверке сказанного заключается в выяснении того, действительно ли все тела падают с одинаковым ускорением. Для одного тела, падающего вблизи поверхности Земли, имеем

$M_{ин}(1)a(1)=\frac{GM_ЗM_{гр}(1)}{R_З^2} ,$

(3)

и аналогично для другого

$M_{ин}(2)a(2)=\frac{GM_ЗM_{гр}(2)}{R_З^2} .$

(4)

Поделив одно равенство на другое, найдем

$\frac{M_{ин}(1)\cdot a(1)}{M_{ин}(2)\cdot a(2)} = \frac{M_{гр}(1)}{M_{гр}(2)} ,$

(5)

или

$\frac{M_{ин}(1)}{M_{гр}(1)} = \frac{M_{ин}(2)}{M_{гр}(2)} \cdot\frac{a(2)}{a(1)} .$

(6)

Но опыт показывает, что в вакууме все тела падают одинаково, так что в пределах точности измерений

a(2) = a(1) .

(7)

Отсюда получаем

$\frac{M_{ин}(1)}{M_{гр}(1)} = \frac{M_{ин}(2)}{M_{гр}(2)} ,$

(8)

т.е. отношение инертной и гравитационной масс одинаково для всех тел. Мы можем всегда привести это отношение к 1 путем выбора подходящего значения для гравитационной константы G.

Одним из первых проверил равенство инертной и гравитационной масс сам Ньютон в своих классических опытах с маятником. Маятники одинаковой длины с грузом одинакового веса на конце имели одинаковые периоды колебаний, что свидетельствовало о равенстве инертной и гравитационной масс. ²

Среди других опытов следует отметить остроумные опыты Этвеша, начатые в 1890 г. и продолжавшиеся около 25 лет. Рассмотрим сначала поведение маятника, подвешенного у поверхности Земли на широте 45^° (см. рис. 1).

Рис. 1. Маятник.

На шарик маятника действует сила гравитационного притяжения, направленного к центру Земли

F_гр = M_грg ,

(9)

и центробежная сила, направленная перпендикулярно оси вращения Земли вокруг своей оси

$F_{ц.б.} = M_{ин}\Omega^2R_З\cos45^{\circ}= M_{ин}\Omega^2R_З/\sqrt{2} .$

(10)

Равнодействующая обеих сил образует угол

$\theta\approx \frac{M_{ин}\Omega^2R_З\cos^245^{\circ}} {M_{гр}g-M_{ин}\Omega^2R_З\cos^245^{\circ}} \approx \frac{M_{ин}\Omega^2R_З}{2M_{гр}g}\approx 0{,}003$

(11)

с направлением местной вертикали.

Предположим теперь, что крутильный подвес состоит из двух шариков, сделанных из различного материала, но одинаковой гравитационной массы M_гр(1) = M_гр(2).

Рис. 2. Крутильный подвес.

Если M_ин(1)≠ M_ин(2), то под действием неуравновешенных центробежных сил (горизонтальная компонента) крутильная нить будет закручиваться. Измерение повторяется после поворота прибора на 180^°. Это позволяет определить нулевое положение весов. Данный метод — характерный пример нулевого метода измерений: эффект наблюдается только при M_ин(1)≠ M_ин(2).

Этвеш произвел сравнение восьми разных материалов с платиной, принятой за эталон. Он установил, что

$\frac{M_{ин}(1)}{M_{гр}(1)} = \frac{M_{ин}(Pt)}{M_{гр}(Pt)}$

(12)

с относительной ошибкой менее 10^–8. Недавние опыты Дике (1961-1964 гг.) подтвердили равенство обоих видов масс с точностью до 10^–10.

Наряду с фундаментальным физическим значением независимость ускорения от массы тела имеет и большое практическое значение. Например, следствием этого является невесомость в космическом корабле. Разница в инертной и гравитационной массах сделала бы невозможной космические полеты. Разные части корабля подвергались бы действию различных ускорений, возникали бы перегрузки, напряжения и т.д.

Принцип эквивалентности

Таким образом, мы приходим к фундаментальному выводу о том, что гравитационные поля или поля тяготения обладают следующим основным свойством:

все тела, вне зависимости от их массы, движутся в них (при заданных начальных условиях) одинаковым образом.

Например, законы свободного падения в поле тяготения Земли одинаковы для всех тел, какой бы массой они не обладали, все они приобретают одно и то же ускорение.

Это свойство гравитационных полей дает возможность установить существенную аналогию между движением тел в гравитационном поле и движением тел, не находящихся в каком-либо внешнем поле, но рассматриваемых с точки зрения неинерциальной системы отсчета. Действительно, в инерциальной системе отсчета свободное движение всех тел происходит прямолинейно и равномерно, и если, скажем, в начальный момент времени их скорости были одинаковыми, то они будут одинаковыми все время. Очевидно, поэтому, что если рассматривать это движение в заданной неинерциальной системе, то и относительно неё все тела будут двигаться одинаковым образом.

Таким образом, свойства движения в неинерциальной системе отсчета такие же, как в инерциальной системе при наличии гравитационного поля. Другими словами,

неинерциальная система отсчета эквивалентна некоторому гравитационному полю.

Это обстоятельство называют принципом эквивалентности.

Рассмотрим, например, движение в равномерно ускоренной системе отсчета. Свободно движущиеся в ней тела любой массы будут, очевидно, обладать относительно этой системы одинаковым постоянным ускорением, равным и противоположным ускорению самой системы отсчета.

Таким же является движение в однородном постоянном гравитационном поле, например, в поле тяготения Земли (в небольших участках его, где поле можно рассматривать как однородное). Таким образом,

равномерно ускоренная система отсчета эквивалентна постоянному однородному внешнему полю.

В таком же смысле неравномерно ускоренная поступательно движущаяся система отсчета эквивалентна однородному, но переменному гравитационному полю.

Однако поля, которым эквивалентны неинерциальные системы отсчета, все же не вполне тождественны с "истинными" гравитационными полями, существующими и в неинерциальных системах. Между ними имеется существенное отличие в отношении их свойств на бесконечности. На бесконечном расстоянии от создающих поле тел "истинное" гравитационное поле всегда стремится к нулю. Поля же, которым эквивалентны неинерциальные системы отсчета, на бесконечности, напротив, неограниченно возрастают или, в крайнем случае, остаются конечными по величине. Так, например, возникающие во вращающейся системе отсчета центробежные силы неограниченно растут при удалении от оси вращения; поле, которому эквивалентна ускоренно прямолинейно движущаяся система отсчета, одинаково во всем пространстве, в том числе и на бесконечности.

Поля, которым эквивалентны неинерциальные системы отсчета, исчезают, как только мы перейдем к инерциальной системе. В противоположность этому, "истинные" гравитационные поля (существующие и в инерциальной системе отсчета) невозможно исключить никаким выбором системы отсчета. Это видно уже из указанного выше различия между условиями на бесконечности в "истинных" гравитационных полях и в полях, которым эквивалентны неинерциальные системы; поскольку последние на бесконечности к нулю не стремятся, то ясно, что

никаким выбором системы отсчета нельзя исключить "истинные" поля, обращающиеся на бесконечности в нуль.

Единственное, чего можно достичь надлежащим выбором системы отсчета, это

исключения гравитационного поля в данном участке пространства, достаточно малом для того, чтобы в нем можно было считать поле однородным.

Это можно сделать путем выбора ускоренно движущейся системы, ускорение которой было бы равно тому ускорению, которое приобретает частица, помещенная в рассматриваемом участке поля.

Таким образом, для наблюдателя в свободно падающем лифте все законы физики такие же, как и в инерциальных системах отсчета специальной теории относительности (по крайней мере, в непосредственном соседстве с центром лифта, т.е. локально).

Действие ускоренного движения и силы тяжести полностью взаимно уничтожаются. Наблюдатель, сидящий в закрытом лифте и регистрирующий силы, представляющиеся ему гравитационными, не может сказать, какая доля этих сил обусловлена ускорением и какая — действительными гравитационными силами. Он вообще не обнаружит никаких сил, если только на лифт не подействуют какие-либо другие (т.е. отличные от гравитационных) силы.

¹ Путем соответствующего подбора величины G можно добится того, чтобы инертные массы были равны гравитационным.

² Покажите, что частота малых колебаний маятника $\omega=\left(\frac{M_{гр}}{M_{ин}} \frac gL\right)^{1/2}$ . Если бы при одинаковом весе, т.е. одинаковых M_гр, инертные массы двух любых тел не совпадали бы, то это приводило бы к различию в их периодах колебаний.