Физика
Оптика
Общая характеристика световых явлений.
Фотометрия и светотехника.
Основные законы геометрической оптики.
Применение отражения и преломления света для получения изображения.
Оптические системы и их погрешности.
Оптические приборы.
Интерференция света.
Дифракция света.
Физические принципы оптической голографии.
Поляризация света и поперечность световых волн.
Шкала электромагнитных волн.
Спектры и спектральные закономерности.
Действия света на вещество.
Википедия
Физика
Физика - это область естествознания, наука. Она изучает самые общие и фундаментальные закономерности, которые определяют структуру и эволюцию материальн... читать далее »
Статьи по Физике
17.10.2009 00:00

Силы инерции. Движение относительно Земли с учетом ее вращения.. Физика.

Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета

До сих пор в механике мы рассматривали движение материальной точки в инерциальной системе отсчета. При этом уравнение движения имело вид II закона Ньютона


m\ddot{\bf r}={\bf F} ,(1)

где r — радиус вектор точки, а m — масса (мы сейчас не рассматриваем релятивистские эффекты, так что v<< c).

Посмотрим теперь, как выглядит то же движение в неинерциальной системе отсчета. Начнем с поступательного движения неинерциальной системы K' относительно инерциальной системы K (см. рис. 1). При этом ориентация осей координат системы K' в процессе движения не меняется.


Рис. 1. Инерциальная и неинерциальная системы отсчета K и K'.

Пусть радиус-вектор R характеризует положение начала координатной системы K' относительно инерциальной системы K, r' — радиус-вектор точки в системе K', а r — радиус-вектор той же точки в системе K. Очевидно, что


r = R+r'.(2)

Дифференцируя по времени, отсюда находим


\dot{\bf r}=\dot{\bf R}+\dot{\bf r}' \mbox{и} \ddot{\bf r}=\ddot{\bf R}+\ddot{\bf r}' .(3)

Если обозначить \ddot{\bf r}={\bf a} (ускорение материальной точки в инерциальной системе отсчета K), \ddot{\bf r}'={\bf a}' (ускорение материальной точки в неинерциальной системе отсчета K') и \ddot{\bf R}={\bf W} (поступательное ускорение системы отсчета K' относительно K), то получим связь между этими ускорениями


a = a'+W .(4)

Таким образом, при поступательном движении (когда не меняется ориентация осей координатной системы K' относительно системы K) имеем


ma = m(a'+W) = F .(5)

В итоге мы получаем закон движения в неинерциальной системе отсчета K'


ma' = –mW+F .(6)

Отсюда мы видим, что в смысле своего влияния на уравнения движения частицы, ускоренное поступательное движение системы отсчета эквивалентно появлению однородного силового поля, причем действующая в этом поле сила равна произведению массы частицы на ускорение W и направлена в противоположную этому ускорению сторону.

Силы инерции при произвольном ускоренном движении системы отсчета

Рассмотрим теперь случай, когда система K' еще и вращается с угловой скоростью Ω(t) относительно системы K. По-прежнему


r = R+r'(7)

и


\frac{d{\bf r}}{dt}=\frac{d{\bf R}}{dt}+\frac{d{\bf r}'}{dt} .(8)

Если радиус-вектор r' не изменяется по отношению к системе K' (т.е. он вращается вместе с ней), тогда его скорость изменения в системе отсчета K равна


\frac{d{\bf r}'}{dt}=[{\bf\Omega}\times{\bf r}'] .(9)

Если же радиус-вектор r' изменяется по отношению к вращающейся системе координат K', то к члену [Ω×r'] надо добавить скорость его изменения:


\frac{d{\bf r}'}{dt}=\frac{d'{\bf r}'}{dt}+ [{\bf\Omega}\times{\bf r}'] \equiv {\bf v}'+ [{\bf\Omega}\times{\bf r}'] ,(10)

где v'≡ d'r'/dt — скорость точки во вращающейся системе координат K'.

Найдем теперь вторую производную, т.е. ускорение


\frac{d^2{\bf r}'}{dt^2}=\frac{d{\bf v}'}{dt} + [\dot{\bf\Omega}\times{\bf r}'] + \left[{\bf\Omega}\times\frac{d{\bf r}'}{dt} \right] .(11)

Аналогичным образом рассуждая, можно записать


\frac{d{\bf v}'}{dt} = \frac{d'{\bf v}'}{dt} + [{\bf\Omega}\times{\bf v}'] \equiv {\bf a}'+ [{\bf\Omega}\times{\bf v}'] ,(12)

где a'≡ d'v'/dt — ускорение точки в системе K'. Подставляя в (11) величину dr'/dt из (10) и dv'/dt из (12), получаем


\begin{array}{rcl} \frac{\displaystyle d^2{\bf r}'}{\displaystyle dt^2} &=& {\bf a}' + [{\bf\Omega}\times{\bf v}'] + [\dot{\bf\Omega}\times{\bf r}'] + [{\bf\Omega}\times({\bf v}'+ [{\bf\Omega}\times{\bf r}'])] =\\[10pt] &=&{\bf a}' + 2[{\bf\Omega}\times{\bf v}'] + [\dot{\bf\Omega}\times{\bf r}'] + [{\bf\Omega}\times[{\bf\Omega}\times{\bf r}']] . \end{array}(13)

В итоге


{\bf a} = \frac{d^2{\bf r}}{dt^2} = \frac{d^2{\bf R}}{dt^2} + \frac{d^2{\bf r}'}{dt^2} = {\bf W} + \frac{d^2{\bf r}'}{dt^2} ,(14)

или, используя (13), получаем


{\bf a} = {\bf W} + {\bf a}' + 2[{\bf\Omega}\times{\bf v}'] + [\dot{\bf\Omega}\times{\bf r}'] + [{\bf\Omega}\times[{\bf\Omega}\times{\bf r}']] .(15)

Подставляя это во II закон Ньютона, находим


m{\bf a}' = {\bf F} - m{\bf W} + \underbrace{2m[{\bf v}'\times{\Omega}]}_{сила Кориолиса} + \underbrace{m[{\bf r}'\times\dot{\bf\Omega}]}_{неравномерное вращение} + \underbrace{m[{\bf\Omega}\times[{\bf r}'\times{\bf\Omega}]]}_{центробежная сила} .(16)

Мы видим из этого выражения, что "силы инерции", обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей. Сила m[{\bf r}'\times\dot{\bf\Omega}] — связана с неравномерностью вращения, в то время как две другие присутствуют и при равномерном вращении. Сила 2m[vΩ] называется силой Кориолиса; в отличие от всех ранее рассматривавшихся (не диссипативных) сил она зависит от скорости частицы. Сила m[Ω×[rΩ]] называется центробежной. Она направлена в плоскости, проходящей через r' и Ω перпендикулярно к оси вращения (т.е. направлению Ω), в сторону от оси вращения; по величине центробежная сила равна 'Ω2, где ρ' — расстояние точки от оси вращения.

Движение относительно Земли с учетом ее вращения

Одной из наиболее "доступных" нам неинерциальных систем отсчета является Земля. Как мы уже упоминали, центростремительное ускорение точки на экваторе aц.с≈ 3,4  см/сек2. Ускорение же Земли при ее вращении вокруг Солнца примерно равно 0,6  см/сек2 (т.е. примерно на порядок меньше). Поэтому главной причиной неинерциальности системы отсчета Земля является ее вращение вокруг собственной оси.

Наиболее просто учесть влияние центробежной силы.


Рис. 2. Центробежная сила.

Согласно рис. 2 суммарная сила, действующая на тело на поверхности Земли, складывается из силы тяжести и центробежной силы


FΣ = Fт + Fц.б.(17)

Так, если форма Земли была бы строго сферической (и вещество Земли было бы распределено в ней сферически симметрично), то без учета центробежной силы сила Fт, действующая на тело массы m, была бы направлена к центру Земли. Центробежная сила приводит к отклонению результирующей силы FΣ от направления на центр. Очевидно, что так как F_{ц.б.}\propto\rho', то на экваторе ρ' = RЗ и максимально, а на полюсе ρ' = 0. Следовательно, ускорение свободного падения на полюсе будет больше, чем на экваторе


gполюс≈ 983,2  см/сек2 ,       gэкватор≈ 978  см/сек2 .(18)

Это приводит к тому, что вес тела на экваторе меньше веса того же тела на полюсе (измеренного с помощью пружинных весов). Собственно этим эффектом — изменением веса тела — и исчерпывается действие центробежных сил.

Гораздо хитрее проявление Кориолисовых сил. Они появляются только при движении тела относительно Земли. Кориолисова сила приводит к нескольким наблюдаемым эффектам:

  • Отклонение свободно падающего тела от вертикали (на восток).
  • Повороту плоскости колебаний маятника (маятник Фуко).

Рассмотрим первый из этих эффектов. Запишем уравнение движения в виде


ma = mg+2m[v×Ω] ,(19)

где {\bf a}=\dot{\bf v} (мы опустили штрихи у векторов a и v). Сокращая на массу, находим


\dot{\bf v}={\bf g}+2[{\bf v}\times{\bf\Omega}] .(20)

Далее будем решать это уравнение последовательными приближениями (т.к. сила Кориолиса мала по сравнению с силой тяжести). Представим скорость v в виде


v = v1+v2 ,(21)

где v1 есть решение уравнения


\dot{\bf v}_1={\bf g} ,(22)

т.е.


v1 = gt+v0 ,(23)

где v0 есть начальная скорость. Подставляя v = v1+v2 в уравнение движения (20), получим уравнение для v2:


\dot{\bf v}_1 + \dot{\bf v}_2 = {\bf g} + 2[{\bf v}_1\times{\bf\Omega}] + 2[{\bf v}_2\times{\bf\Omega}] .(24)

Принимая во внимание (22) и пренебрегая малым последним слагаемым в правой части уравнения (24), получим


\dot{\bf v}_2=2[{\bf v}_1\times{\bf\Omega}] = 2t[{\bf g}\times{\bf\Omega}] + 2[{\bf v}_0\times{\bf\Omega}] .(25)

Интегрируя это уравнение с начальным условием v2(0) = 0, подставляя в (21) и интегрируя еще раз, получим


{\bf r}={\bf h}+{\bf v}_0t + \frac{{\bf g}t^2}{2} + \frac{1}{3}t^3[{\bf g}\times{\bf\Omega}] + t^2[{\bf v}_0\times{\bf\Omega}] ,(26)

где h = r(0) — начальное положение тела. Первые три слагаемых в правой части уравнения (26) описывают известный результат движения тела в поле тяжести Земли в пренебрежении ее вращением. Два последних слагаемых описывают влияние вращения Земли. При v0 = 0 (свободное падение из состояния покоя) 4-й член и представляет собой искомое смещение. Оно пропорционально кубу времени падения и направлено на Восток.







Авторы лекций: Д. А. Паршин и Г. Г. Зегря
 Научно-образовательный Центр ФТИ им.А.Ф.Иоффе

© WIKI.RU, 2008–2017 г. Все права защищены.