WIIKI.RU: Физика | Естественные и точные науки

Физика - это область естествознания, наука. Она изучает самые общие и фундаментальные закономерности, которые определяют структуру и эволюцию материальн... читать далее »

Статьи по Физике

17.10.2009 00:00

Силы инерции. Движение относительно Земли с учетом ее вращения.. Физика.

Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета

До сих пор в механике мы рассматривали движение материальной точки в инерциальной системе отсчета. При этом уравнение движения имело вид II закона Ньютона

$m\ddot{\bf r}={\bf F} ,$

(1)

где r — радиус вектор точки, а m — масса (мы сейчас не рассматриваем релятивистские эффекты, так что v<< c).

Посмотрим теперь, как выглядит то же движение в неинерциальной системе отсчета. Начнем с поступательного движения неинерциальной системы K' относительно инерциальной системы K (см. рис. 1). При этом ориентация осей координат системы K' в процессе движения не меняется.

Рис. 1. Инерциальная и неинерциальная системы отсчета K и K'.

Пусть радиус-вектор R характеризует положение начала координатной системы K' относительно инерциальной системы K, r' — радиус-вектор точки в системе K', а r — радиус-вектор той же точки в системе K. Очевидно, что

r = R+r'.

(2)

Дифференцируя по времени, отсюда находим

$\dot{\bf r}=\dot{\bf R}+\dot{\bf r}' \mbox{и} \ddot{\bf r}=\ddot{\bf R}+\ddot{\bf r}' .$

(3)

Если обозначить $\ddot{\bf r}={\bf a}$ (ускорение материальной точки в инерциальной системе отсчета K), $\ddot{\bf r}'={\bf a}'$ (ускорение материальной точки в неинерциальной системе отсчета K') и $\ddot{\bf R}={\bf W}$ (поступательное ускорение системы отсчета K' относительно K), то получим связь между этими ускорениями

a = a'+W .

(4)

Таким образом, при поступательном движении (когда не меняется ориентация осей координатной системы K' относительно системы K) имеем

ma = m(a'+W) = F .

(5)

В итоге мы получаем закон движения в неинерциальной системе отсчета K'

ma' = –mW+F .

(6)

Отсюда мы видим, что в смысле своего влияния на уравнения движения частицы, ускоренное поступательное движение системы отсчета эквивалентно появлению однородного силового поля, причем действующая в этом поле сила равна произведению массы частицы на ускорение W и направлена в противоположную этому ускорению сторону.

Силы инерции при произвольном ускоренном движении системы отсчета

Рассмотрим теперь случай, когда система K' еще и вращается с угловой скоростью Ω(t) относительно системы K. По-прежнему

r = R+r'

(7)

$\frac{d{\bf r}}{dt}=\frac{d{\bf R}}{dt}+\frac{d{\bf r}'}{dt} .$

(8)

Если радиус-вектор r' не изменяется по отношению к системе K' (т.е. он вращается вместе с ней), тогда его скорость изменения в системе отсчета K равна

$\frac{d{\bf r}'}{dt}=[{\bf\Omega}\times{\bf r}'] .$

(9)

Если же радиус-вектор r' изменяется по отношению к вращающейся системе координат K', то к члену [Ω×r'] надо добавить скорость его изменения:

$\frac{d{\bf r}'}{dt}=\frac{d'{\bf r}'}{dt}+ [{\bf\Omega}\times{\bf r}'] \equiv {\bf v}'+ [{\bf\Omega}\times{\bf r}'] ,$

(10)

где v'≡ d'r'/dt — скорость точки во вращающейся системе координат K'.

Найдем теперь вторую производную, т.е. ускорение

$\frac{d^2{\bf r}'}{dt^2}=\frac{d{\bf v}'}{dt} + [\dot{\bf\Omega}\times{\bf r}'] + \left[{\bf\Omega}\times\frac{d{\bf r}'}{dt} \right] .$

(11)

Аналогичным образом рассуждая, можно записать

$\frac{d{\bf v}'}{dt} = \frac{d'{\bf v}'}{dt} + [{\bf\Omega}\times{\bf v}'] \equiv {\bf a}'+ [{\bf\Omega}\times{\bf v}'] ,$

(12)

где a'≡ d'v'/dt — ускорение точки в системе K'. Подставляя в (11) величину dr'/dt из (10) и dv'/dt из (12), получаем

$\begin{array}{rcl} \frac{\displaystyle d^2{\bf r}'}{\displaystyle dt^2} &=& {\bf a}' + [{\bf\Omega}\times{\bf v}'] + [\dot{\bf\Omega}\times{\bf r}'] + [{\bf\Omega}\times({\bf v}'+ [{\bf\Omega}\times{\bf r}'])] =\\[10pt] &=&{\bf a}' + 2[{\bf\Omega}\times{\bf v}'] + [\dot{\bf\Omega}\times{\bf r}'] + [{\bf\Omega}\times[{\bf\Omega}\times{\bf r}']] . \end{array}$

(13)

В итоге

${\bf a} = \frac{d^2{\bf r}}{dt^2} = \frac{d^2{\bf R}}{dt^2} + \frac{d^2{\bf r}'}{dt^2} = {\bf W} + \frac{d^2{\bf r}'}{dt^2} ,$

(14)

или, используя (13), получаем

${\bf a} = {\bf W} + {\bf a}' + 2[{\bf\Omega}\times{\bf v}'] + [\dot{\bf\Omega}\times{\bf r}'] + [{\bf\Omega}\times[{\bf\Omega}\times{\bf r}']] .$

(15)

Подставляя это во II закон Ньютона, находим

$m{\bf a}' = {\bf F} - m{\bf W} + \underbrace{2m[{\bf v}'\times{\Omega}]}_{сила Кориолиса} + \underbrace{m[{\bf r}'\times\dot{\bf\Omega}]}_{неравномерное вращение} + \underbrace{m[{\bf\Omega}\times[{\bf r}'\times{\bf\Omega}]]}_{центробежная сила} .$

(16)

Мы видим из этого выражения, что "силы инерции", обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей. Сила $m[{\bf r}'\times\dot{\bf\Omega}]$ — связана с неравномерностью вращения, в то время как две другие присутствуют и при равномерном вращении. Сила 2m[v'×Ω] называется силой Кориолиса; в отличие от всех ранее рассматривавшихся (не диссипативных) сил она зависит от скорости частицы. Сила m[Ω×[r'×Ω]] называется центробежной. Она направлена в плоскости, проходящей через r' и Ω перпендикулярно к оси вращения (т.е. направлению Ω), в сторону от оси вращения; по величине центробежная сила равна mρ'Ω², где ρ' — расстояние точки от оси вращения.

Движение относительно Земли с учетом ее вращения

Одной из наиболее "доступных" нам неинерциальных систем отсчета является Земля. Как мы уже упоминали, центростремительное ускорение точки на экваторе a_ц.с≈ 3,4 см/сек². Ускорение же Земли при ее вращении вокруг Солнца примерно равно 0,6 см/сек² (т.е. примерно на порядок меньше). Поэтому главной причиной неинерциальности системы отсчета Земля является ее вращение вокруг собственной оси.

Наиболее просто учесть влияние центробежной силы.

Рис. 2. Центробежная сила.

Согласно рис. 2 суммарная сила, действующая на тело на поверхности Земли, складывается из силы тяжести и центробежной силы

F_Σ = F_т + F_ц.б.

(17)

Так, если форма Земли была бы строго сферической (и вещество Земли было бы распределено в ней сферически симметрично), то без учета центробежной силы сила F_т, действующая на тело массы m, была бы направлена к центру Земли. Центробежная сила приводит к отклонению результирующей силы F_Σ от направления на центр. Очевидно, что так как $F_{ц.б.}\propto\rho'$ , то на экваторе ρ' = R_З и максимально, а на полюсе ρ' = 0. Следовательно, ускорение свободного падения на полюсе будет больше, чем на экваторе

g_полюс≈ 983,2 см/сек² , g_{экватор}≈ 978 см/сек² .

(18)

Это приводит к тому, что вес тела на экваторе меньше веса того же тела на полюсе (измеренного с помощью пружинных весов). Собственно этим эффектом — изменением веса тела — и исчерпывается действие центробежных сил.

Гораздо хитрее проявление Кориолисовых сил. Они появляются только при движении тела относительно Земли. Кориолисова сила приводит к нескольким наблюдаемым эффектам:

Отклонение свободно падающего тела от вертикали (на восток).
Повороту плоскости колебаний маятника (маятник Фуко).

Рассмотрим первый из этих эффектов. Запишем уравнение движения в виде

ma = mg+2m[v×Ω] ,

(19)

где ${\bf a}=\dot{\bf v}$ (мы опустили штрихи у векторов a и v). Сокращая на массу, находим

$\dot{\bf v}={\bf g}+2[{\bf v}\times{\bf\Omega}] .$

(20)

Далее будем решать это уравнение последовательными приближениями (т.к. сила Кориолиса мала по сравнению с силой тяжести). Представим скорость v в виде

v = v₁+v₂ ,

(21)

где v₁ есть решение уравнения

$\dot{\bf v}_1={\bf g} ,$

(22)

т.е.

v₁ = gt+v₀ ,

(23)

где v₀ есть начальная скорость. Подставляя v = v₁+v₂ в уравнение движения (20), получим уравнение для v₂:

$\dot{\bf v}_1 + \dot{\bf v}_2 = {\bf g} + 2[{\bf v}_1\times{\bf\Omega}] + 2[{\bf v}_2\times{\bf\Omega}] .$

(24)

Принимая во внимание (22) и пренебрегая малым последним слагаемым в правой части уравнения (24), получим

$\dot{\bf v}_2=2[{\bf v}_1\times{\bf\Omega}] = 2t[{\bf g}\times{\bf\Omega}] + 2[{\bf v}_0\times{\bf\Omega}] .$

(25)

Интегрируя это уравнение с начальным условием v₂(0) = 0, подставляя в (21) и интегрируя еще раз, получим

${\bf r}={\bf h}+{\bf v}_0t + \frac{{\bf g}t^2}{2} + \frac{1}{3}t^3[{\bf g}\times{\bf\Omega}] + t^2[{\bf v}_0\times{\bf\Omega}] ,$

(26)

где h = r(0) — начальное положение тела. Первые три слагаемых в правой части уравнения (26) описывают известный результат движения тела в поле тяжести Земли в пренебрежении ее вращением. Два последних слагаемых описывают влияние вращения Земли. При v₀ = 0 (свободное падение из состояния покоя) 4-й член и представляет собой искомое смещение. Оно пропорционально кубу времени падения и направлено на Восток.