Движение, происходящее по криволинейной траектории, называют криволинейным. Частным случаем криволинейного движения является движение по окружности.

Условие, при котором движение является криволинейным

Мгновенная скорость тела в каждой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории. Следовательно, в криволинейном движении направление скорости тела непрерывно изменяется. Поскольку скорость - величина векторная, изменение направления скорости даже при неизменном модуле скорости означает, что скорость изменяется, т. е. тело движется с ускорением. Следовательно, любое криволинейное движение, и в том числе движение по окружности, является движением ускоренным.

Криволинейное движение происходит только в том случае, когда вектор ускорения в любой точке траектории составляет с вектором скорости угол, не равный нулю или p.

Движение по любой криволинейной траектории можно приближенно представить как движение по дугам окружностей различных радиусов (рис. 14). Поэтому задача определения ускорения тела при произвольном криволинейном движении сводится к нахождению ускорения при движении тела по окружности соответствующего радиуса.

Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорение

Рассмотрим движение тела (материальной точки) по окружности (рис. 15). Положение тела на окружности задается радиусом-вектором r, проведенным из ее центра. Модуль радиуса-вектора r равен радиусу r этой окружности.
Пусть в момент начала отсчета времени (t=0) тело находилось в точке А, а за промежуток времени t, двигаясь по дуге окружности |AB|=s, переместилось в точку В. При этом радиус-вектор r повернулся на угол Df (углы обычно выражают в радианах) .

Радиан (сокращенно рад) - это угол между двумя радиусами круга, вырезающими на окружности дугу, длина которой равна радиусу.

Скорость тела, направленную по касательной к окружности, называют линейной. Вектор линейной скорости в точке А равен v₀, а в точке В равен v.

Если за любые равные промежутки времени радиус-вектор тела поворачивается на одинаковые углы, а линейная скорость тела по модулю не изменяется (т. е. если |v₀|=|v|), движение тела по окружности называют равномерным (не следует забывать, что равномерное движение по окружности происходит с ускорением, так как скорость тела непрерывно меняется по направлению). Определим направление и модуль ускорения, при котором материальная точка движется по окружности. Для этого сделаем добавочное построение на рис. 15 и проведем расчет.

Соединим точки А и В хордой АВ. Перенесем вектор скорости v из точки В (параллельно его направлению) в точку А и соединим отрезком CD точки С и D. Это направленный отрезок CD согласно правилу сложения векторов есть векторная разность векторов v и v₀, т.е. приращение Dv вектора v₀. Следовательно, Dv=v-v₀. А по модулю | Dv|=|CD|, т. е. равен длине отрезка |CD|.

Как известно, ускорение а есть векторная величина, определяемая по формуле

Очевидно, что направление вектора ускорения а при движении тела по окружности определяется направлением вектора _Dv. Установим это направление. Из рис. 15 видно, что так как |v|=|v₀|, то треугольник ACD равнобедренный, т. е. ^ACD=^ADC. Видно также, что ^CAD=^AOB как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно, ^CAD= Df, т. е. равен углу поворота подвижного радиуса.

Будем стремить промежуток времени t к нулю. Тогда точка В начнет приближаться к точке А, а угол Df должен стремиться к нулю. Поскольку сумма углов в треугольнике равна p, это значит, что каждый из равных между собой углов при его основании (т. е. и ^ACD, и ^ADC) стремится к p/2.

Следовательно, при t=0 (т.е. в точке А) вектор приращения скорости Df направлен по радиусу к центру окружности. Поэтому и ускорение а направ-лено по радиусу к центру окружности.

Очевидно, что вместо точки А начальной точкой движения (при t=0) может являться любая точка окружности. Следовательно, при равномерном движении тела по окружности вектор ускорения в любой точке траектории направлен перпеидикулярно вектору скорости по радиусу к центру окружности. Поэтому ускорение тела в криволинейном движении называют центростремительным. Согласно формуле (1.21), модуль центростремительного ускорения

Поскольку DACD~DAOB, имеем

При t~0 длина дуги АВ мало отличается от длины хорды АВ, поэтому можно считать, что

Так как |CD| =Dv, |AD|=v, |АО|=r, формула (1.23) с учетом (1.24) приводится к виду Dv/v=vt/r, откуда получаем

т. е. модуль центростремительного ускорения равен отношению квадрата линейной скорости тела к радиусу окружности, по которой движется тело.

Угловая скорость. Период и частота обращения

Для описания движения материальной точки по окружности кроме линейной скорости введено понятие угловой скорости.

Угловой скоростью w называют величину, равную отношению угла поворота Df радиуса-вектора точки, движущейся по окружности к промежутку времени Dt, в течение которого произошел этот поворот:

Единица угловой скорости устанавливается из формулы (1.28). В СИ за единицу угловой скорости принята скорость такого равномерного движения точки по окружности, при котором радиус-вектор этой точки в течение 1 с поворачивается на угол 1 рад. Эту единицу угловой скорости обозначают 1 рад/с и называют радиан в секунду.

При равномерном движении тела по окружности угловая скорость есть величина постоянная w=const). Промежуток времени, в течение которого материальная точка, двигаясь по окружности, совершает один полный оборот, называют периодом обращения. Период обращения обозначают буквой Т и выражают в секундах.

Величину n, обратную периоду обращения и равную числу оборотов, совершаемых телом за единичное время, называют частотой обращения

Если t=T, угол поворота подвижного радиуса точки равен f=2p. Тогда из (1.28) и (1.29) следует, что

Для точки, равномерно движущейся по окружности радиуса r, линейная скорость

где s - путь, пройденный телом по дуге окружности за промежуток времени t. Угол поворота f выражают в радианах, поэтому f= s/r и

Подставив (1.32) в (1.31), получим, согласно формуле (1.28),

Формула (1.33) выражает связь между линейной и угловой скоростями равномерного движения по окружности.
Используя формулы (1.30) и (1.33), можно записать формулу (1.26) в виде

Кинематический закон равномерного движения по окружности Из формулы (1.28) следует, что f=vt.

Так как при равномерном движении тела по окружности v=const, то из последней формулы для любого момента времени можно найти угол поворота радиуса-вектора, устанавливающего положение точки на окружности. Следовательно, с помощью формулы f=vt можно в любой момент времени найти положение материальной точки, равномерно движущейся по окружности. Это значит, что данная формула выражает собой кинематический закон такого движения (является уравнением этого движения).