Булева алгебра (алгебра логики, алгебра суждений) – раздел математики, в котором изучаются логические операции над высказываниями.
Буль произвел такую научную революцию, о которой сам не подозревал. То, во что он превратил логику, было в дальнейшем положено в основу построения электронно-вычислительных устройств. История показала, что спор Булем был проигран. Из всей логики именно Булева алгебра получила самое большое практическое применение в технике.
В логических задачах исходными данными являются не только и не столько числа, а сложные логические суждения, подчас весьма запутанные. Эти суждения и связи между ними бывают иногда столь противоречивы, что для их разрешения привлекают вычислительные машины.
Объектами, с которыми работает алгебра высказываний, являются повествовательные предложения, относительно которых можно сказать, истинны они или ложны.
Простым высказыванием называют повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.
Логическими значениями высказываний является «истина» и «ложь». Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
Условимся обозначать высказывания большими буквами и, следуя Джорджу Булю, истинное (true) высказывание A обозначим так, A=1. В том случае, когда A – ложное (false) высказывание, будем писать: A=0.
Из простых высказываний можно строить сложные, называемые составными высказывания, соединяя простые логическими операциями. Над простыми высказываниями определены следующие операции:
1) логическое отрицание (NOT);
2) логическое умножение (AND);
3) логическое сложение (OR);
4) логическое следование или импликация;
5) эквивалентность.
Таблица истинности - это один из способов вычислений в формальной логике. Таблица позволяет определить истинность какого-нибудь сложного логического высказывания по истинности его фрагментов. К сожалению, не для всякого высказывания можно составить таблицу истинности (особено вне булевой алгебры), но, когда это возможно, это удобно.
Таблица истинности имеет примерно вот такой вид:
A |
B |
~(A & B) |
false |
false |
true |
false |
true |
true |
true |
false |
true |
true |
true |
false |