Гипотеза Римана состоит в том, что в комплексной плоскости все нули некоторой функции, известной как дзета-функция Римана и задаваемой сходящимся рядом специального вида, лежат на прямой Re z = 0,5. Эта гипотеза играет важную роль в теории чисел и, как следствие, криптографии (например, в теории сложности алгоритмов).

Несмотря на то, что она была сформулирована в 1859 году, до сих пор не доказана. При этом задача входит в разного рода списки важных проблем. Так, например, она является одновременно частью 5-й проблемы Гильберта и входит в список из семи задач Тысячелетия, за решения каждой из которых Математический институт Клэя обещает награду в миллион долларов.

В своей работе Матиясевич задался вопросом: можно ли построить рекуррентную формулу, позволяющую, (хотя бы приблизительно) по известным N нулям, то есть точкам, где значение дзета-функции равно нулю, построить N+1-ый ноль? Оказалось, что подходящий алгоритм существует. Более того, по утверждению Матиясевича, он дает необычайно хорошие приближения, по крайней мере для вычисленных нулей, при полном отсутствии математического обоснования такой точности.

В завершении статьи Матиясевич делает несколько предположений, касающихся построенных им приближений. Выступая в Университете Лечестера, математик выразил надежду, что сделанные им наблюдения окажутся полезны при изучении гипотезы Римана.

В 1900 году математик Давид Гильберт на II конгрессе математиков в Париже представил список из более чем двух десятков ключевых (по его мнению) задач математики на тот момент. Юрий Матиясевич решил 10-ю проблему Гильберта, которая звучала следующим образом: предъявить алгоритм решения алгебраических диафантовых уравнений, то есть уравнений вида P = 0 в целых числах, где P - многочлен с рациональными коэффициентами. В 1970 году Юрий Матиясевич доказал, что эта задача неразрешима с алгоритмической точки зрения.