Чем, как вы думаете, занимаются математики-прикладники? Правильно, расчетами. Многие думают, что это очень скучно - возиться с мириадами чисел, однако, представьте себе, это не так. Немножко кропотливой работы на бумаге или на компьютере - и вот вы уже знаете, как защититься от зомби, легко решаете парадокс двух конвертов, придумываете никому неизвестную рассадку гребцов в восьмерке и ... Впрочем, не стоит забегать вперед. Обо всем по порядку.
Для теоретиков
В этом разделе мы приводим самые интересные абстрактные (и даже немного серьезные) новости, с которыми нашим читателям удалось познакомиться на страницах Ленты.Ру за 2009 год.
Начнем, пожалуй , с того, что в октябре 2009 года состоялось знаменательное событие: интернет-проект GIMPS (Great Internet Meresenne Prime Search) получил-таки свои премиальные 100 тысяч долларов. Эта сумма стала наградой за обнаружение простого числа (то есть числа, среди делителей которого имеется только единица и оно само), длина десятичной записи которого составляет более 10 миллионов знаков. Если быть точным, то само открытие состоялось еще в 2008 году, когда ученые из Калифорнийского университета обнаружили число Мерсенна (простое число вида 2n - 1), в записи которого присутствует 12 миллионов 978 тысяч 189 знаков. Однако деньги организаторы получили почти на год позже.
Отличились в 2009 году японцы. Они смогли посчитать число Пи с точностью до 2 триллионов 576 миллиардов 980 миллионов 377 тысяч 524 знаков, что в два раза больше предыдущего рекорда (первые миллион цифр после запятой у числа Пи можно посмотреть здесь). Подобные масштабные вычисления делаются не просто "на интерес", а позволяют исследователям проверять различные гипотезы, имеющие существенное значение для приложений. Вот, например, до сих пор неизвестно все ли цифры от 0 до 9 встречаются в записи этого числа бесконечное число раз. Гипотеза, разумеется, утверждает, что это так, однако доказать ее пока не представляется возможным.
Число 2010 не является простым, оно представляется в виде 2x3x5x67. Предыдущий год также не был простым (правда, делителей у него поменьше): 2009 = 41x7x7, - а ближайшим простым годом был 2003-й. Здесь можно найти удобный калькулятор, проверяющий простоту числа. |
Схема упаковки, предложенная учеными из Университета Кента (кликните на картинку, чтобы перейти на новость) |
Сначала исследователи из Принстонского университета добились плотности упаковки в 0,782. Данный результат был не сильным продвижением вперед по сравнению с предыдущим рекордом, который составлял 0,778 и был установлен в 2006 году в том же университете. Спустя несколько месяцев ученые из университета Кента перекрыли это достижение, добившись плотности упаковки более чем в 0,85. Отдельно необходимо заметить, что в первом случае упаковки получались сложными и "скучными" - тетраэдры не соприкасались гранями и вообще выглядели достаточно хаотично, в то время как во втором случае ученым удалось получить квазикристаллическую структуру, то есть материал, обладающий решеткой с симметрическими ячейками, в то время как общей периодичности в материале не наблюдается. Разумеется, у второй упаковки больше возможностей найти применение.
Представление интернета в виде графа. Иллюстрация пользователя Matt Britt с сайта wikipedia.org. Кликните на картинке, чтобы открыть ее в большем разрешении |
Галерея фракталов от Ленты.Ру (кликните на картинку, чтобы перейти к галерее) |
Теперь представим, что в этом графе нам требуется разбить все сайты на фиксированное число групп. Чтобы определять принадлежность к той или иной группе, мы будем просто раскрашивать ту или иную вершину в один из фиксированного набора цветов. Сколько существует вариантов таких раскрасок? В 2009 году ученым удалось предложить новый алгоритм решения этой задачи, который работает в несколько раз быстрее предыдущих. Суть алгоритма заключается в особом кодировании состояний при помощи подходящего многочлена.
Много интересного произошло в этом году в области визуализации. Например, специалистам, занимающимся визуализацией фракталов, удалось получить замечательные картинки лампочки Мандельброта. Этот объект представляет собой трехмерный аналог множества Мандельброта - одного из первых фракталов, открытых в 70-х годах прошлого века. Поражающие воображения свойства этого объекта - это именно то, что сделало фракталы крайне популярными в 70-х годах прошлого века.
Для практиков
В 2009 году работающим в США и Австралии греческим математикам Апостолосу Доксиадису и Кристосу Пападимитру удалось почти невозможное - они смогли заинтересовать широкую общественность историей математики. И сделали это в виде ставшего бестселлером комикса под названием "Logicomix: An Epic Search for Truth" ("Логикомикс: Эпический поиск истины") . Главным героем их графической новеллы, сюжет которой закручивается вокруг вопроса обоснования математики, стал Бертран Рассел - один из величайших умов XX века. Помимо него в комикс попали такие поистине легендарные математики, как Пуанкаре, Гильберт, Фреге, Гедель и многие другие. |
Помните, мы в начале упомянули о зомби? Так вот, в прошедшем году появилось сразу два исследования, посвященных этим созданиям. Правда, если быть точным, речь в работах идет о математических моделях процессов распространения информации, диффузии в разломах кристаллов и прочих, а зомби появились просто как забавный способ привлечь внимание к результатам. Однако это не отменяет полезности проведенных исследований на тот случай, если какой-нибудь из фильмов Джорджа Ромеро вдруг начнет воплощаться в жизнь.
В рамках первой статьи ученые пытались разобраться в том, что делать людям в ситуации, когда зомби-вирус неожиданно вырвался на свободу. Оказалось, что единственное спасение заключается в тотальном истреблении нежити - на разработку вакцины или изоляцию зараженных просто не останется времени. Дело в том, что вирус способен захватить целый город в 500 тысяч жителей всего за трое суток. Впрочем, повод для оптимизма в данном случае есть - зомби у исследователей были бессмертные, а согласно каноническим представлениям, обезглавливание живого мертвеца приводит к его окончательной гибели.
Кадр из фильма "Ночь живых мертвецов" (кликните на картинку, чтобы перейти на новость) |
Удалось в 2009 году математикам изучить и такое загадочное понятие, как счастье. Если быть точным, то ученые решили измерить, насколько общество является счастливым. Для этого они прибегли к помощи блогов (на взгляд автора этих строк, не самый удачный выбор из соображений репрезентативности). Чтобы оценить коллективное самочувствие людей, ученые отбирали записи, в которых присутствовали слова "I feel", а также анализировали музыку, которую слушали авторы блогов. Оказалось, что с 2005 года уровень счастья вырос примерно на 4 процента. Кроме этого удалось определить, что самые счастливые дни - праздники, например Рождество и День Святого Валентина, а наибольшую грусть навевают годовщины различных драматических событий, например 11 сентября 2001 года. После появления этого исследования коллеги предложили ученым ответить при помощи собранных данных на извечный вопрос современной музыки: какие исполнители продают больше дисков - веселые или грустные?
Другой важной проблемой, к решению которой ученые приблизились в 2009 году, стала задача честного деления пирога на троих, которая заключается в следующем. Предположим, что необходимо поделить пирог на N человек. При этом нам известно, что у каждого из них имеются собственные критерии сравнения различных кусков пирога. Например, кому-то больше нравится кусок с украшениями, а кто-то не любит, когда слишком много начинки. Возникает вопрос, всегда ли можно разрезать пирог так, чтобы каждый из N человек остался доволен, то есть, сравнив свой кусок с остальными, пришел бы к выводу, что его не обделили. В прошлом году ученые научились делить пирог почти честно на трех человек.
А еще мы обещали рассказать про парадокс двух конвертов. Его суть заключается в следующем: предположим, что у нас имеется пара конвертов. В обоих деньги, причем в одном в два раза больше, чем в другом. Мы случайно берем один из конвертов, заглядываем в него и считаем деньги. После этого у нас появляется выбор: оставить деньги себе или поменять конверты. Вопрос: что делать? Оказывается, что простые рассуждения способны завести нас в совершенно безвыходную ситуацию.
Как оказалось, правильным выходом из ситуации будет самый простой с точки зрения скромной житейской логики: надо оценить количество денег в конверте относительно собственных критериев. Если их мало, то можно рискнуть и поменять, а если их достаточно - то менять не стоит. Как показало компьютерное моделирование, эта логика позволяет добиться замечательных результатов - лучший ответ выпадает чаще, чем при случайном выборе.
Наконец в завершение хотелось бы поговорить о спорте. В 2009 году на эту тему было много интересных новостей. Например, математики доказали, что футбол - это не только самая популярная в мире спортивная игра, сколько плохо организованный эксперимент по сравнению физической формы команд. Или экономисты предложили свой способ оценки рейтинга баскетболистов. Однако самыми интересными, на наш взгляд, стали достижения ученых в области заплывов.
Исследователей заинтересовал вопрос, который уже достаточно давно мучает спортсменов-гребцов. Предположим, мы рассадили их в длинную гребную лодку и дали каждому по веслу. Спортсмен может грести либо с одного борта лодки, либо с другого. При этом, разумеется, каждый его гребок сообщает лодке ускорение, поперечное направлению движения. Возникает вопрос, как рассадить людей так, чтобы в результате лодка в перпендикулярном направлении не колебалась. Как оказалось, это равносильно следующей задаче: в наборе подряд идущих целых чисел 1, 2, ..., N необходимо расставить знаки так, чтобы сумма чисел оказалась равна нулю.
В рамках исследования, помимо теоретических результатов, касающихся данной задачи (например, оказывается, это можно сделать только в том случае, если N кратно четырем, то есть 4, 8, 16 и так далее) исследователи сделали неожиданное практическое открытие - им удалось обнаружить рассадку восьмерки (лодки, в которой восемь гребцов и рулевой), которая ранее никому не была известна.