Некоторые из этих расчетов стали известны журналистам.

Например, в октябре 2009 года состоялось знаменательное событие: интернет-проект GIMPS (Great Internet Meresenne Prime Search) получил-таки свои премиальные 100 тысяч долларов. Эта сумма стала наградой за обнаружение простого числа (то есть числа, среди делителей которого имеется только единица и оно само), длина десятичной записи которого составляет более 10 миллионов знаков. Если быть точным, то само открытие состоялось еще в 2008 году, когда ученые из Калифорнийского университета обнаружили число Мересенна (простое число вида 2n - 1), в записи которого присутствует 12 миллионов 978 тысяч 189 знаков. Однако деньги организаторы получили почти на год позже.

Отличились в 2009 году японцы. Они смогли посчитать число Пи с точностью до 2 триллионов 576 миллиардов 980 миллионов 377 тысяч 524 знаков, что в два раза больше предыдущего рекорда (первые миллион цифр после запятой у числа Пи можно посмотреть здесь). Подобные масштабные вычисления делаются не просто "на интерес", а позволяют исследователям проверять различные гипотезы, имеющие существенное значение для приложений. Вот, например, до сих пор неизвестно все ли цифры от 0 до 9 встречаются в записи этого числа бесконечное число раз. Гипотеза, разумеется, утверждает, что это так, однако доказать ее пока не представляется возможным.

Число 2010 не является простым, оно представляется в виде 2x3x5x67. Предыдущий год также не был простым (правда, делителей у него поменьше): 2009 = 41x7x7, - а ближайшим простым годом был 2003-й. Здесь можно найти удобный калькулятор, проверяющий простоту числа.

Также в прошедшем году американцы посчитали все конгруэнтные числа до триллиона. Конгруэнтными называют натуральные числа, выражающие площадь прямоугольного треугольника с рациональными сторонами. Наименьшим подобным объектом является 5 - это площадь треугольника со сторонами 3/2, 20/3 и 41/6. Изучение этих чисел вплотную связано со знаменитой гипотезой Берча и Свиннертон-Дайера, за решение которой полагается награда в миллион долларов от Математического института Клэя. Конгруэнтные числа - настолько сложный объект, что еще в 80-х годах прошлого века относительно чисел меньше 1000 оставались некоторые неясности. Таким образом, достижение американцев действительно достойно быть упомянутым в нашем списке.

Схема упаковки, предложенная учеными из Университета Кента, потребовала от разработчиков идеи доскональных знаний геометрии. Например, некоторых успехов удалось добиться в вопросе плотных упаковок. Эта задача представляет собой всего лишь строгую математическую формализацию трудностей, с которыми мы сталкиваемся в обычной жизни, когда, например, собираем чемодан в поездку и хотим впихнуть в него как можно больше вещей. Задача звучит так: в замкнутой области пространства (чемодане) необходимо разместить геометрические фигуры (вещи) так, чтобы отношение их объема к объему области было максимальным. Традиционно эту задачу решают для простейших геометрических фигур - тетраэдров. В этом году сразу два коллектива математиков установили рекорды на этом поприще.

Сначала исследователи из Принстонского университета добились плотности упаковки в 0,782. Данный результат был не сильным продвижением вперед по сравнению с предыдущим рекордом, который составлял 0,778 и был установлен в 2006 году в том же университете. Спустя несколько месяцев ученые из университета Кента перекрыли это достижение, добившись плотности упаковки более чем в 0,85. Отдельно необходимо заметить, что в первом случае упаковки получались сложными и "скучными" - тетраэдры не соприкасались гранями и вообще выглядели достаточно хаотично, в то время как во втором случае ученым удалось получить квазикристаллическую структуру, то есть материал, обладающий решеткой с симметрическими ячейками, в то время как общей периодичности в материале не наблюдается. Разумеется, у второй упаковки больше возможностей найти применение.

В связи с плотной упаковкой хочется вспомнить и новость про гипотезу Кельвина. Формулировка задачи, относительно которой Кельвин высказал свою гипотезу, немного напоминает формулировку задачи о плотной упаковке: необходимо предъявить такую схему распределения многогранников одинакового объема в пространстве, чтобы площадь стенок разбиения была минимальной. Гипотеза, в свою очередь, утверждает, что решением будут слепленные урезанные октаэдры (многогранники, строение которых напоминает "разлиновку" обычного футбольного мяча). Контрпримеров к этой гипотезе достаточно много (например здесь представлена конструкция, в которую входят многогранники с 12 и 14 гранями), однако в 2009 году ученым из Университета Бата удалось построить целую серию контрпримеров. Внимания этот факт заслуживает из-за метода, который применили ученые - им удалось приспособить для работы трехмерную версию уравнения Свифта-Хоенберга, которое использовалось для анализа периодических структур на плоскости.

Представление интернета в виде графа. Еще одним интересным результатом, достигнутым в прошлом году, стало создание алгоритма подсчета всевозможных раскрасок графов. Графами в математике называют объекты, которые можно представлять себе как множество точек на плоскости, соединенное ребрами. Они полезны в самых разнообразных областях человеческой деятельности. Например вершины могут представлять собой сайты — а ребра будут соединять только те сайты, между которыми существует прямая гиперссылка. В качестве подобного графа, теоретически, можно представить всю глобальную сеть (как выглядит интернет в таком представлении, можно посмотреть тут).

Теперь представим, что в этом графе нам требуется разбить все сайты на фиксированное число групп. Чтобы определять принадлежность к той или иной группе, мы будем просто раскрашивать ту или иную вершину в один из фиксированного набора цветов. Сколько существует вариантов таких раскрасок? В 2009 году ученым удалось предложить новый алгоритм решения этой задачи, который работает в несколько раз быстрее предыдущих. Суть алгоритма заключается в особом кодировании состояний при помощи подходящего многочлена.

Много интересного произошло в этом году, кстати, и в области визуализации. Например, специалистам, занимающимся визуализацией фракталов, удалось получить замечательные картинки лампочки Мандельброта. Этот объект представляет собой трехмерный аналог множества Мандельброта - одного из первых фракталов, открытых в 70-х годах прошлого века. Поражающие воображения свойства этого объекта - это именно то, что сделало фракталы крайне популярными в 70-х годах прошлого века.

Удалось в 2009 году математикам изучить и такое загадочное понятие, как счастье. Если быть точным, то ученые решили измерить, насколько общество является счастливым. Для этого они прибегли к помощи блогов (на взгляд автора этих строк, не самый удачный выбор из соображений репрезентативности). Чтобы оценить коллективное самочувствие людей, ученые отбирали записи, в которых присутствовали слова "I feel", а также анализировали музыку, которую слушали авторы блогов. Оказалось, что с 2005 года уровень счастья вырос примерно на 4 процента. Кроме этого удалось определить, что самые счастливые дни - праздники, например Рождество и День Святого Валентина, а наибольшую грусть навевают годовщины различных драматических событий, например 11 сентября 2001 года. После появления этого исследования коллеги предложили ученым ответить при помощи собранных данных на извечный вопрос современной музыки: какие исполнители продают больше дисков - веселые или грустные?

Деление пирога. Другой важной проблемой, к решению которой ученые приблизились в 2009 году, стала задача честного деления пирога на троих, которая заключается в следующем. Предположим, что необходимо поделить пирог на N человек. При этом нам известно, что у каждого из них имеются собственные критерии сравнения различных кусков пирога. Например, кому-то больше нравится кусок с украшениями, а кто-то не любит, когда слишком много начинки. Возникает вопрос, всегда ли можно разрезать пирог так, чтобы каждый из N человек остался доволен, то есть, сравнив свой кусок с остальными, пришел бы к выводу, что его не обделили. В прошлом году ученые научились делить пирог почти честно на трех человек.

Парадокс двух конвертов. Его суть заключается в следующем: предположим, что у нас имеется пара конвертов. В обоих деньги, причем в одном в два раза больше, чем в другом. Мы случайно берем один из конвертов, заглядываем в него и считаем деньги. После этого у нас появляется выбор: оставить деньги себе или поменять конверты. Вопрос: что делать? Оказывается, что простые рассуждения способны завести нас в совершенно безвыходную ситуацию.

Действительно, пусть игрок обнаружил в конверте x рублей. Тогда с вероятностью 0,5 в другом конверте 2x или 0,5x. В результате среднее взвешенное ожидаемое значение составляет 1,25x, что уж точно больше имеющейся на руках у игрока суммы, и поэтому игроку выгоднее сделать обмен. Однако те же самые рассуждения, примененные к другому конверту, утверждают, что игроку снова выгоднее будет поменять конверты. Разумеется, эти рассуждения совершенно неверны с точки зрения теории вероятности, однако наличия подобной проблемы в действительности это не отменяет.

Как оказалось, правильным выходом из ситуации будет самый простой с точки зрения скромной житейской логики: надо оценить количество денег в конверте относительно собственных критериев. Если их мало, то можно рискнуть и поменять, а если их достаточно - то менять не стоит. Как показало компьютерное моделирование, эта логика позволяет добиться замечательных результатов - лучший ответ выпадает чаще, чем при случайном выборе.

Источник