Википедия

Математика Корнелиса Эшера: к московской выставке голландского художника

11 декабря в московском Музее современного искусства открывается выставка Маурица Корнелиса Эшера. Нидерландский художник-график известен, в первую очередь, работами, в которых он использовал разные математические концепции — от предела и ленты Мебиуса до геометрии Лобачевского.

Специального математического образования Мауриц Эшер не получал. Но свойствами пространства он интересовался с самого начала творческой карьеры. Уже в 1920-е Эшер экспериментировал с зеркалами и сферами — в частности, создавая автопортрет в сферическом зеркале. При этом специалисты по творчеству голландца считают, что переломным для его работы стал 1937 год, когда Эшер перешел от пейзажей к геометрическим конструкциям.

К выставке Корнелиса Эшера (его будут показывать в России второй раз) «Лента.ру» решила разобрать математическую составляющую работ художника. Охватить все сюжеты, пожалуй, не удастся, поэтому речь пойдет о трех — замощениях, плоскости Лобачевского и невозможных фигурах.

«Три сферы»

Замощения

Замощением называют разбиение плоскости на одинаковые фигуры. Для изучения такого рода разбиений традиционно используют понятие группа симметрий. Представим себе плоскость, на которой нарисовано некоторое замощение. Плоскость можно вращать вокруг произвольной оси и сдвигать. Сдвиг определяется вектором сдвига, а поворот — осью и углом. Такие преобразования называются движениями. Говорят, что то или иное движение — симметрия, если после него замощение переходит в себя.

Рассмотрим для примера плоскость, разбитую на одинаковые квадраты — по сути бесконечный во все стороны лист тетради в клетку. Если такую плоскость повернуть на 90 градусов (180, 270 или 360 градусов) вокруг оси, проходящей через центр любого квадрата, замощение перейдет в себя. Также оно переходит в себя при сдвиге на вектор, параллельный одной из сторон квадратов. Длина вектора при этом должна быть кратна стороне квадрата.

В 1924 году геометр Джордж Полиа (до переезда в США Дьердь Пойа) опубликовал работу, посвященную группам симметрий замощений, в которой доказал замечательный факт (правда, уже обнаруженный в 1891 году российским математиком Евграфом Федоровым, а позже благополучно забытый): существует всего 17 групп симметрий, в состав которых входят сдвиги как минимум в двух разных направлениях. В 1936-м Эшер, заинтересовавшись мавританскими орнаментами (с геометрической точки зрения, вариант замощения), прочитал работу Полиа. Несмотря на то, что всей математики, стоящей за работой, он, по его собственному признанию, не понял, Эшер сумел ухватить ее геометрическую суть. В результате на основе всех 17 групп Эшер создал более 40 работ.

«День и ночь», 1938 год

В качестве фигуры для условного замощения здесь выступает сочетание белого и черного лебедей

Эшер дружил с физиком Роджером Пенроузом. В свободное от физики время Пенроуз занимался тем, что решал математические головоломки. Однажды ему пришла в голову такая идея: если вообразить замощение, состоящее более чем из одной фигуры, будет ли его группа симметрий отличаться от описанных у Полиа? Как оказалось, ответ на этот вопрос утвердительный — так на свет появилась мозаика Пенроуза. В 1980-х выяснилось, что она связана с квазикристаллами (Нобелевская премия по химии 2011 года).

Однако Эшер не успел (а, может, и не захотел) использовать в работе эту мозаику. За него постарались последователи.

Плоскость Лобачевского

Пятым в списке аксиом в «Началах» Евклида в реконструкции Гейберга значится такое утверждение: если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых. В современной литературе предпочитают эквивалентную и более изящную формулировку: через точку, не лежащую на прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Но даже в такой формулировке аксиома, в отличие от остальных постулатов Евклида, выглядит громоздко и запутанно — именно поэтому на протяжении двух тысяч лет ученые пытались вывести это утверждение из остальных аксиом. То есть, фактически, превратить постулат в теорему.

Николай Лобачевский

В XIX веке математик Николай Лобачевский попытался сделать это от противного: он предположил, что постулат неверен, и попытался обнаружить противоречие. Но его не нашлось — и в результате Лобачевский построил новую геометрию. В ней через точку, не лежащую на прямой, проходит бесконечное множество различных прямых, параллельных данной. Лобачевский был не первым, кто обнаружил эту новую геометрию. Но он был первым, кто решился заявить о ней публично — за что, разумеется, его подняли на смех.

Посмертное признание работ Лобачевского состоялось, среди прочего, благодаря появлению моделей его геометрии — систем объектов на обычной евклидовой плоскости, которые удовлетворяли всем аксиомам Евклида, за исключением пятого постулата. Одна из этих моделей была предложена математиком и физиком Анри Пуанкаре в 1882 году — для нужд функционального и комплексного анализа.

Пусть есть круг, границу которого назовем абсолютом. «Точками» в нашей модели будут внутренние точки круга. Роль «прямых» исполняют диаметры круга и окружности, перпендикулярные абсолюту (точнее, их дуги, попавшие внутрь круга). То, что для таких «прямых» не выполняется пятый постулат, практически очевидно. То, что для этих объектов выполнены остальные постулаты — очевидно чуть менее, однако, это так и есть.

Оказывается, в модели Пуанкаре можно определить расстояние между точками — она равна длине отрезка «прямой», соединяющей эти точки. Для вычисления длины требуется понятие римановой метрики. Ее свойства таковы: чем ближе пара точек «прямой» к абсолюту, тем больше расстояние между ними. Также между «прямыми» определены углы — это углы между касательными в точке пересечения «прямых».

Теперь вернемся к замощениям. Как они будут выглядеть, если разбить на одинаковые правильные многоугольники (то есть многоугольники со всеми равными сторонами и углами) уже модель Пуанкаре? Например, многоугольники должны становиться тем меньше, чем ближе они располагаются к абсолюту. Эта идея и была реализована Эшером в серии работ «Предел-круг». Впрочем, голландец использовал не правильные разбиения, но их более симметричные версии. Тот случай, где красота оказалась важнее математической точности.

Cirlce Limit III

Невозможные фигуры

Невозможными фигурами принято называть особые оптические иллюзии — они как будто являются изображением некоторого трехмерного объекта на плоскости. Но при внимательном рассмотрении в их строении обнаруживаются геометрические противоречия. Невозможные фигуры интересны не только математикам — ими занимаются и психологи, и специалисты по дизайну.

Прадедушка невозможных фигур — так называемый куб Некера, привычное всем изображение куба на плоскости. Оно было предложено шведским кристаллографом Луисом Некером в 1832 году. Особенность этого изображения в том, что его можно интерпретировать разным образом. Например, угол, обозначенный на этом рисунке красным кругом, может быть как ближним к нам из всех углов куба, так и, наоборот, самым дальним.

Первые настоящие невозможные фигуры как таковые были созданы другим шведским ученым Оскаром Рутерсвардом в 1930-х. В частности, он придумал собрать из кубиков треугольник, который не может существовать в природе. Независимо от Рутерсварда уже упоминавшийся Роджер Пенроуз вместе со своим отцом Лайонелом Пенроузом опубликовали в журнале British Journal of Psychology работу под названием «Невозможные объекты: Особый тип оптических иллюзий» (1956). В ней Пенроузы предложили два таких объекта — треугольник Пенроуза (цельную версию конструкции Рутерсварда из кубов) и лестницу Пенроуза. Вдохновителем своей работы они назвали Маурица Эшера.

Оба объекта — и треугольник, и лестница — позже появились и в картинах Эшера. Самые известные из них — «Водопад» и «Восхождение и спуск».

 

«Восхождение и спуск»

Лестница Пенроуза

P.S. Все упомянутые в статье работы будут представлены на выставке в Москве.