Из принципа эквивалентности следуют два важных вывода о распространении света в гравитационном поле.
Рассмотрим сначала первый эффект. Пусть в некоторой инерциальной системе
Рис. 3. Искривление луча света в неинерциальной системе отсчета. |
Рассмотрим тот же процесс в неинерциальной системе отсчета
Рис. 4. Отклонение луча света в однородном гравитационном поле. |
Таким образом, все выглядело бы так, как если бы фотоны обладали бы гравитационной массой. Оказывается, что так оно и есть. Согласно формуле Эйнштейна , т.е. если есть энергия , то с ней связана инертная масса
(13) |
Но энергия фотона равна, как известно, величине
(14) |
Согласно принципу эквивалентности она должна быть равна гравитационной массе фотона
(15) |
Таким образом, за счет наличия у фотона гравитационной массы свет отклоняется гравитационным полем. Заметить это отклонение можно, например, наблюдая прохождение луча света около Солнца. В этом случае эффект будет максимальным.
Рис. 5. Отклонение света в гравитационном поле Солнца. |
Оценить величину эффекта отклонения можно с помощью классической механики, приписав фотону массу
Рис. 6. Классический расчет эффекта отклонения. |
Предположим, что свет проходит мимо Солнца с прицельным расстоянием
(16) |
Конечное значение поперечной составляющей скорости фотона определяется через поперечную составляющую приращения импульса вдоль оси
(17) |
(последний определенный интеграл равен 1, поскольку первообразная подинтегральной функции равна ). Отсюда находим угол отклонения
(18) |
Более точные вычисления, основанные на специальной теории относительности и принципе эквивалентности, предсказывают в два раза большее значение:
Второй эффект — изменение частоты света в гравитационном поле — заключается в следующем. Пусть наблюдатель, находящийся на Земле, посылает световой сигнал наблюдателю, находящемуся на некоторой высоте над поверхностью Земли, например, на вершине высокой башни (см. рис. 7).
Рис. 7. Изменение частоты света в гравитационном поле. |
Эффект состоит в том, что наблюдатель на башне измерит несколько меньшую частоту, чем та, которая была послана наблюдателем с Земли. Это есть так называемое гравитационное красное смещение.
Объяснение этого эффекта заключается в следующем. Гравитационное поле
(19) |
За это время верхний наблюдатель приобретет скорость
(20) |
Поэтому, в силу эффекта Доплера, он зарегистрирует фотон с меньшей частотой
(21) |
или
(22) |
К такому же результату приводят рассуждения, использующие инертную массу фотона, которая равна гравитационной. При распространении фотона вверх его энергия
(23) |
или
(24) |
что совпадает с предыдущим результатом.
Интересно, что Эйнштейн пришел к этому результату, исходя из закона сохранения энергии. Пусть частица из точки A свободно падает в точку B, находящуюся под ней на расстоянии
Рис. 8. "Свободное падение" частицы с высоты |
Тогда, если она покоилось в A, то её энергия
(25) |
Зато в точке B её энергия больше:
(26) |
Пусть теперь в точке B частица аннигилирует, превращаясь в фотон с той же энергией
(27) |
и летит снова вверх. Если фотон никак не взаимодействует с полем тяготения, то его энергия в точке A будет такая же, что и в точке B. В точке A с помощью соответствующей аппаратуры он может быть превращен в другую частицу с такой же энергией и весь процесс повторится сначала. Таким образом, энергия частицы будет все нарастать и нарастать. Если научиться её отнимать, то получим вечный двигатель. Выход из этого противоречия как раз и заключается в предположении, что при распространении в гравитационном поле (против силы тяжести) свет испытывает красное смещение в соответствии с полученными формулами.
Эффект красного смещения очень мал. Так если
(28) |
Однако этот фантастически малый эффект был действительно измерен Паундом и Ребкой в 1960 г. для гамма-лучей (используя эффект Мëссбауэра). Башня в Гарвардском университете имела высоту
Рис. 9. Опыт Паунда и Ребки. |
Отношение измеренного изменения частоты к предсказанному теорией значению (28) было равно
(29) |
Следствием гравитационного красного смещения является то, что фотон частоты
(30) |
где
Рис. 10. Улетая в бесконечность с поверхности звезды, фотон теряет энергию. Его частота при этом уменьшается. |
У белых карликов значение отношения
(31) |