WIIKI.RU: Физика | Естественные и точные науки

Физика - это область естествознания, наука. Она изучает самые общие и фундаментальные закономерности, которые определяют структуру и эволюцию материальн... читать далее »

Статьи по Физике

17.10.2009 00:00

Луч света в гравитационном поле.. Физика.

Искривление луча света в гравитационном поле

Из принципа эквивалентности следуют два важных вывода о распространении света в гравитационном поле.

В гравитационном поле свет распространяется по кривой (не по прямой).
При распространении света в гравитационном поле, вообще говоря, меняется его частота.

Рассмотрим сначала первый эффект. Пусть в некоторой инерциальной системе K параллельно оси x распространяется луч света.

Рис. 3. Искривление луча света в неинерциальной системе отсчета.

Рассмотрим тот же процесс в неинерциальной системе отсчета N, движущейся с ускорением a вверх вдоль оси y. Ясно, что в этой системе отсчета траектория луча света не является прямой. Луч отклоняется в направлении, противоположном направлению ускорения системы отсчета N. Но, согласно принципу эквивалентности, равномерно ускоренная система отсчета N эквивалентна однородному гравитационному полю, вызывающему ускорение g = –a. То есть, если бы в инерциальной системе K было бы еще однородное гравитационное поле (система K'), то свет при своем распространении отклонялся бы от прямой линии в направлении ускорения g.

Рис. 4. Отклонение луча света в однородном гравитационном поле.

Таким образом, все выглядело бы так, как если бы фотоны обладали бы гравитационной массой. Оказывается, что так оно и есть. Согласно формуле Эйнштейна ${\cal E}=m_{ин}c^2$ , т.е. если есть энергия ${\cal E}$ , то с ней связана инертная масса

$m_{ин}=\frac{{\cal E}}{c^2}.$

(13)

Но энергия фотона равна, как известно, величине ħω, где ω — частота фотона. Следовательно, инертная масса фотона равна

$m_{ин}=\frac{\hbar\omega}{c^2}.$

(14)

Согласно принципу эквивалентности она должна быть равна гравитационной массе фотона

$m_{гр}=m_{ин} = \frac{\hbar\omega}{c^2}.$

(15)

Таким образом, за счет наличия у фотона гравитационной массы свет отклоняется гравитационным полем. Заметить это отклонение можно, например, наблюдая прохождение луча света около Солнца. В этом случае эффект будет максимальным.

Рис. 5. Отклонение света в гравитационном поле Солнца.

Оценить величину эффекта отклонения можно с помощью классической механики, приписав фотону массу m_ф.

Рис. 6. Классический расчет эффекта отклонения.

Предположим, что свет проходит мимо Солнца с прицельным расстоянием R_c (отсчитанным от центра Солнца). Поперечная гравитационная сила, действующая на фотон в положении (R_c, y) равна

$F_x=-GM_cm_ф\frac{\cos\alpha}{R_c^2+y^2}= -GM_cm_ф\frac{R_c}{\left(R_c^2+y^2 \right)^{3/2}} .$

(16)

Конечное значение поперечной составляющей скорости фотона определяется через поперечную составляющую приращения импульса вдоль оси x

$\begin{array}{lcl} &&m_фv_x = \displaystyle \int F_xdt = \int F_x\frac{dy}{dy/dt} = \int F_x\frac{dy}{v_y} = \int F_x\frac{dy}{c} =\\[20pt] && -\displaystyle\frac{GM_cm_ф}{c}R_c \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dy}{\left(y^2+R_c^2 \right)^{3/2}} = -\frac{2GM_cm_ф}{R_cc} \underbrace{\int\limits_0^{\infty}\frac{d\xi} {\left(\xi^2+1 \right)^{3/2}}}_{=1} \end{array}$

(17)

(последний определенный интеграл равен 1, поскольку первообразная подинтегральной функции равна $\xi/\sqrt{1+\xi^2}$ ). Отсюда находим угол отклонения

$\varphi=\frac{|v_x|}{c}\simeq \frac{2GM_c}{R_cc^2}\approx 0{,}87^{ \prime\prime} .$

(18)

Более точные вычисления, основанные на специальной теории относительности и принципе эквивалентности, предсказывают в два раза большее значение: 1,75^''. Этот результат был экспериментально проверен для света (наблюдения велись во время солнечных затмений) и подтвердился с точностью около 20%. Позднее для радиоволн была достигнута бóльшая точность, порядка 5%–10%.

Изменение частоты света при движении в гравитационном поле

Второй эффект — изменение частоты света в гравитационном поле — заключается в следующем. Пусть наблюдатель, находящийся на Земле, посылает световой сигнал наблюдателю, находящемуся на некоторой высоте над поверхностью Земли, например, на вершине высокой башни (см. рис. 7).

Рис. 7. Изменение частоты света в гравитационном поле.

Эффект состоит в том, что наблюдатель на башне измерит несколько меньшую частоту, чем та, которая была послана наблюдателем с Земли. Это есть так называемое гравитационное красное смещение.

Объяснение этого эффекта заключается в следующем. Гравитационное поле g эквивалентно неинерциальной системе отсчета, движущейся вверх с ускорением a = –g. Пусть расстояние между наблюдателями (находящимися в ракете, движущейся с ускорением a) равно H. Для определенности предположим, что, когда нижний наблюдатель послал фотон, ракета покоилась в некоторой инерциальной системе координат. Чтобы достигнуть верхнего наблюдателя, фотону требуется время

$t=\frac{H}{c} .$

(19)

За это время верхний наблюдатель приобретет скорость

$v=at=g\frac{H}{c} .$

(20)

Поэтому, в силу эффекта Доплера, он зарегистрирует фотон с меньшей частотой ω₂:

$\omega_2=\omega_1\left(1-\frac{v}{c} \right) ,$

(21)

или

$\frac{\Delta\omega}{\omega}\equiv \frac{\omega_1 - \omega_2}{\omega_1} = \frac{v}{c}=\frac{gH}{c^2} .$

(22)

К такому же результату приводят рассуждения, использующие инертную массу фотона, которая равна гравитационной. При распространении фотона вверх его энергия m_ф1c² = (ħω₁/c²)c² уменьшается на величину m_ф1gH и становится равной

$m_{ф2}c^2=\frac{\hbar\omega_2}{c^2}c^2= \frac{\hbar\omega_1}{c^2}c^2-m_{ф1}gH ,$

(23)

или

$\omega_2=\omega_1-\frac{\omega_1}{c^2}gH = \omega_1\left(1-\frac{gH}{c^2} \right) ,$

(24)

что совпадает с предыдущим результатом.

Интересно, что Эйнштейн пришел к этому результату, исходя из закона сохранения энергии. Пусть частица из точки A свободно падает в точку B, находящуюся под ней на расстоянии H.

Рис. 8. "Свободное падение" частицы с высоты H.

Тогда, если она покоилось в A, то её энергия

${\cal E}_{\rm A}=mc^2 .$

(25)

Зато в точке B её энергия больше:

${\cal E}_B=mc^2+mgH .$

(26)

Пусть теперь в точке B частица аннигилирует, превращаясь в фотон с той же энергией

${\cal E}_{\gamma}={\cal E}_{\rm B}$

(27)

и летит снова вверх. Если фотон никак не взаимодействует с полем тяготения, то его энергия в точке A будет такая же, что и в точке B. В точке A с помощью соответствующей аппаратуры он может быть превращен в другую частицу с такой же энергией и весь процесс повторится сначала. Таким образом, энергия частицы будет все нарастать и нарастать. Если научиться её отнимать, то получим вечный двигатель. Выход из этого противоречия как раз и заключается в предположении, что при распространении в гравитационном поле (против силы тяжести) свет испытывает красное смещение в соответствии с полученными формулами.

Эффект красного смещения очень мал. Так если H = 20 м, то относительное изменение частоты

$\frac{\Delta\omega}{\omega}=\frac{gH}{c^2}\approx \frac{10^3\cdot 2\cdot 10^3}{(3\cdot 10^{10})^2}\approx 2\cdot 10^{-15} .$

(28)

Однако этот фантастически малый эффект был действительно измерен Паундом и Ребкой в 1960 г. для гамма-лучей (используя эффект Мëссбауэра). Башня в Гарвардском университете имела высоту 22,5 м, и частота используемых гамма-квантов ω_γ = 2,2· 10¹⁹ сек^–1 .

Рис. 9. Опыт Паунда и Ребки.

Отношение измеренного изменения частоты к предсказанному теорией значению (28) было равно

$\frac{(\Delta\nu)_{эксп}}{(\Delta\nu)_{теор}} = 1{,}05\pm 0{,}10 .$

(29)

Следствием гравитационного красного смещения является то, что фотон частоты ω, покидающий звезду и уходящий в бесконечность, будет восприниматься в бесконечности с частотой

$\omega'=\omega\left(1-\frac{GM_{зв}}{R_{зв}c^2} \right) ,$

(30)

где M_зв — масса звезды, а R_зв — радиус звезды.

Рис. 10. Улетая в бесконечность с поверхности звезды, фотон теряет энергию. Его частота при этом уменьшается.

У белых карликов значение отношения M_зв/R_зв велики, вследствие чего они отличаются сравнительно большими величинами красного смещения. Так для Сириуса B вычисленное относительное смещение составляет

$\frac{\Delta\omega}{\omega}\cong -5{,}9\cdot 10^{-5} ,$

(31)

а измеренное равно –6,6· 10^–5. Расхождение не выходит за пределы возможной ошибки в определении величин M_зв и R_зв.

Авторы лекций: Д. А. Паршин и Г. Г. Зегря
Научно-образовательный Центр ФТИ им.А.Ф.Иоффе