WIIKI.RU: Физика | Естественные и точные науки

Физика - это область естествознания, наука. Она изучает самые общие и фундаментальные закономерности, которые определяют структуру и эволюцию материальн... читать далее »

Статьи по Физике

17.10.2009 00:00

Связь энергии и импульса в релятивистской механике. Эффект Доплера. Физика.

В предыдущей лекции мы вычислили квадрат 4-импульса, который является релятивистски инвариантной величиной (т.е. 4-скаляром)

$p^ip_i=m_0^2c^2 , \mbox{или} \frac{{\cal E}^2}{c^2}-p^2=m_0^2c^2 .$

(1)

Отсюда можно получить связь энергии и импульса частицы в релятивистской механике

${\cal E}=\sqrt{m_0^2c^4+p^2c^2} = c\sqrt{m_0^2c^2+p^2} .$

(2)

При малых скоростях, p<< m₀c

${\cal E} \approx m_0c^2+\frac{p^2}{2m} ,$

(3)

т.е. за вычетом энергии покоя получаем известное классическое выражение для кинетической энергии частицы p²/2m.

Из выражения для 4-импульса

$p^i=\left(\frac{{\cal E}}{c}, {\bf p} \right) =\left(\frac{m_0c}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}} , \frac{m_0{\bf v}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{v^2}{c^2}}} \right)$

(4)

получаем связь между энергией, импульсом и скоростью частицы:

${\bf p} = \frac{{\cal E}{\bf v}}{c^2} .$

(5)

Дифференцируя по p выражение (2) и принимая во внимание последнее соотношение, получим

$\frac{\partial {\cal E}}{\partial {\bf p}} = \frac{c{\bf p}}{\sqrt{m_0^2c^2+p^2}} = \frac{c^2{\bf p}}{{\cal E}} = {\bf v} .$

(6)

Таким образом, в релятивистской механике, так же как и в классической, скорость частицы определяется производной от энергии по импульсу.

При v = c импульс и энергия частицы обращаются в бесконечность. Это значит, что частица с отличной от нуля массой покоя m₀≠ 0 не может двигаться со скоростью света. В релятивистской механике, однако, могут существовать частицы с массой покоя, равной нулю, движущиеся со скоростью света. ¹5) Для таких частиц получаем из (

$p=\frac{{\cal E}}{c} .$

(7)

Приближенно такая же формула справедлива и для частиц с отличной от нуля массой покоя в так называемом ультрарелятивистском случае, когда энергия частицы ${\cal E}$ велика по сравнению с ее энергией покоя m₀c².

Эффект Доплера

Эффект Доплера заключается в изменении частоты света при движении источника относительно наблюдателя. Частота света ω связана с энергией фотона согласно формуле

${\cal E} = \hbar\omega ,$

(8)

где ħ — постоянная Планка. Поэтому выяснить, как меняется частота света при движении источника можно, воспользовавшись формулами преобразования Лоренца для энергии и импульса частицы.

Итак, пусть имеются две инерциальные системы отсчета K и K', причем K' движется относительно лабораторной системы K со скоростью V в направлении оси x.

Рис. 1. Две системы отсчета и фотон.

Пусть в системе K' имеется неподвижный относительно нее источник. И пусть излучение этого источника распространяется под углом α к координатной оси x системы K. Тогда из преобразований Лоренца имеем связь

$\frac{{\cal E}'}{c} = \frac{\displaystyle \frac{{\cal E}}{c} - p_x \frac{V}{c}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} = \frac{\displaystyle \frac{{\cal E}}{c} - p\cos\alpha \frac{V}{c}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} .$

(9)

Но поскольку для фотона $p={\cal E}/c$ , то

${\cal E}' = {\cal E}\frac{\displaystyle 1 - \frac{V}{c}\cos\alpha} {\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}} .$

(10)

Пусть частота света в системе K', где покоится источник, равна ω' = ω₀. Тогда частота света в лабораторной системе K будет равна ω:

$\omega=\omega_0\frac{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{V^2}{c^2}}}{\displaystyle 1 - \frac{V}{c}\cos\alpha} .$

(11)

При V/c<< 1 и угле α, не слишком близкому к π/2, получаем из (11)

$\omega=\omega_0\left(1 + \frac{V}{c}\cos\alpha \right) ,$

(12)

т.е. при приближении источника к наблюдателю (cosα > 0) частота ω > ω₀, а при удалении источника от наблюдателя (cosα < 0) частота ω < ω₀. Если же источник света движется по окружности по отношению к наблюдателю, то α = π/2 и

$\omega=\omega_0\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}} ,$

(13)

т.е. ω < ω₀ в соответствии с известной формулой для замедления хода времени в движущейся системе отсчета (нам кажется, что часы в системе K' "тикают" медленнее).

Формулу для эффекта Доплера можно вывести и по-другому, не прибегая к квантовой механике. Для этого заметим, что плоская волна, распространяющаяся в направлении оси x, записывается в виде

cos(ω t – kx) ,

(14)

где ω — частота, а λ = 2π/k — длина волны. Вектор k с компонентами (k,0,0) — называется волновым вектором. Фазовая скорость волны определяется из условия постоянства фазы, т.е. условия

d(ω t – kx) = 0 , или ω dt = kdx .

(15)

Отсюда

$v_{\rm ф}=\frac{dx}{dt}=\frac{\omega}{k} .$

(16)

Для света в вакууме v_ф = с, поэтому для него имеет место следующее сотношение между величиной волнового вектора и частотой волны

$k=\frac{\omega}{c} .$

(17)

Совершенно очевидно, что гребни и впадины волны остаются гребнями и впадинами в любой системе отсчета. Следовательно, форма волны не меняется, и в системе отсчета K' волна описывается тем же выражением, что и (14)

cos(ω't'–k'x'),

(18)

причем фаза волны является инвариантом, т.е. не зависит от выбора системы отсчета

ω't'–k'x' = ω t – kx = φ = const .

(19)

В общем случае произвольного направления распространения вместо (14) имеем

cos (ω t – kr) ,

(20)

где волновой вектор k показывает направления распространения волны. Введем четырехмерный волновой вектор kⁱ:

$k^i=\left(\frac{\omega}{c}, {\bf k} \right) .$

(21)

Из (17) следует, что квадрат волнового 4-вектора равен нулю

$k^ik_i=\frac{\omega^2}{c^2}-k^2 =0 .$

(22)

В соответствии с (19) фаза волны

$\varphi = k^ix_i = \frac{\omega}{c} ct - {\bf kr} = \omega t - {\bf kr}$

(23)

представляет собой 4-скаляр и инвариантна относительно преобразований Лоренца. В результате для частоты волны и ее волнового вектора имеем следующие соотношения в двух инерциальных системах отсчета K и K'

$\frac{\omega'}{c}=\frac{\displaystyle \frac{\omega}{c}-k_x\frac{V}{c}} {\sqrt{\displaystyle 1 -\frac{V^2}{c^2}}} , k'_x=\frac{\displaystyle k_x - \frac{V}{c}\frac{\omega}{c}} {\sqrt{\displaystyle 1 - \frac{V^2}{c^2}}} .$

(24)

Используя эти преобразования и соотношение (17), мы вновь приходим к формуле эффекта Доплера (11). ²

Момент импульса

Как известно из классической механики, у замкнутой системы, кроме энергии и импульса, сохраняется еще и момент импульса, т.е. вектор

${\bf M} = \sum [{\bf r}\times {\bf p}] ,$

(25)

где r и p — радиус-вектор и импульс частицы; суммирование производится по всем частицам, входящим в состав системы. Сохранение момента импульса является следствием изотропии пространства. Очевидно, что подобный закон сохранения должен иметь место и в релятивистской механике.

Однако, как мы уже знаем, соответствующая сохраняющаяся величина должна быть записана в 4-мерном виде, т.е. либо как вектор, либо как тензор какого-либо ранга. Это необходимо для того, чтобы закон сохранения был бы справедлив независимо от выбора инерциальной системы отсчета. Как мы помним из лекции 9, закон сохранения момента импульса был нами получен из условия инвариантности потенциальной энергии системы по отношению к поворотам в трехмерном пространстве на произвольный, бесконечно малый угол δφ. Соответствующее изменение потенциальной энергии можно было представить в виде

$\delta U = -{\bf\varphi}\dot{\bf M} ,$

(26)

откуда следовало постоянство вектора M.

Однако в геометрии Минковского такой подход оказывается невозможным. Дело в том, что угол поворота в 4-мерном пространстве не является, вообще говоря, вектором. Действительно, компоненты этого вектора должны были бы соответствовать поворотам в каждой из координатных плоскостей. В трехмерном пространстве таких плоскостей всего три: xy, xz, yz, ровно столько, какова размерность пространства. Поэтому и угол поворота (бесконечно малого) в 3-мерном пространстве может быть вектором (аксиальным). Однако в пространстве Минковского таких плоскостей шесть: tx, ty, tz, xy, xz, yz, а вектор (или псевдовектор) имеет всего 4 компоненты. Для того чтобы понять, как можно обобщить понятие момента импульса на 4-геометрию Минковского, выпишем компоненты момента импульса одной частицы в проекциях на оси координат

$\begin{array}{rcl} M_x & = & yp_z-zp_y ,\\ M_y & = & zp_x-xp_z ,\\ M_z & = & xp_y-yp_z . \end{array}$

(27)

Отсюда видно, что проекции M_x, M_y, M_z момента импульса можно записать через компоненты антисимметричного тензора II ранга

M_αβ = x_α p_β–x_β p_α = – M_βα.

(28)

Его диагональные компоненты равны нулю

M_xx = M_yy = M_zz = 0 ,

(29)

а недиагональные компоненты, которых ровно три, связаны с компонентами вектора M соотношениями

$\begin{array}{rcl} M_{xy} & = & xp_y-yp_x=M_z ,\\ M_{xz} & = & xp_z-zp_x=-M_y ,\\ M_{yz} & = & yp_z-zp_y=M_x . \end{array}$

(30)

Это можно записать в виде таблицы

$M_{\alpha\beta} = \left( \begin{array}{lll} M_{xx}& M_{xy}& M_{xz}\\ M_{yx}& M_{yy}& M_{yz}\\ M_{zx}& M_{zy}& M_{zz} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0& M_z& -M_y\\ -M_z& 0& M_x\\ M_y& -M_x& 0 \end{array} \right)$

(31)

Таким образом, в трехмерном пространстве компоненты момента импульса являются одновременно компонентами аксиального вектора и антисимметричного тензора II ранга M_αβ.

Обобщению на четырехмерный случай поддается лишь вторая величина. В итоге в релятивистской механике у замкнутой системы остается при движении постоянным, т.е. сохраняется, тензор

$M^{ik}=\sum\left(x^ip^k-x^kp^i \right) .$

(32)

Этот антисимметричный тензор носит название 4-тензора момента.

Пространственные компоненты тензора момента совпадают с компонентами аксиального трехмерного вектора момента ${\bf M}=\sum [{\bf r}\times {\bf p}]$

M²³ = M_x, M¹³ = –M_y , M¹² = M_z .

(33)

Остальные компоненты

$\begin{array}{rcl} M^{01} & = & \sum\left(ctp_x-\frac{\displaystyle{\cal E}}{\displaystyle c}x \right) = c\sum\left(tp_x-\frac{\displaystyle{\cal E}}{\displaystyle c^2}x \right),\\[10pt] M^{02} & = & \sum\left(ctp_y-\frac{\displaystyle{\cal E}}{\displaystyle c}y \right) = c\sum\left(tp_y-\frac{\displaystyle{\cal E}}{\displaystyle c^2}y \right),\\[10pt] M^{03} & = & \sum\left(ctp_z-\frac{\displaystyle{\cal E}}{\displaystyle c}z \right) = c\sum\left(tp_z-\frac{\displaystyle{\cal E}}{\displaystyle c^2}z \right) . \end{array}$

(34)

составляют полярный трехмерный вектор

$c\sum\left(t{\bf p}-\frac{{\cal E}}{c^2}{\bf r}\right) .$

(35)

В результате 6 независимых компонент 4-тензора момента можно записать в виде

$M^{ik}=\left( c\sum\left( t{\bf p}-\frac{{\cal E}}{c^2}{\bf r}\right), -{\bf M}\right) .$

(36)

Таким образом, у замкнутой системы наряду с вектором M сохраняется одновременно величина

$\sum\left( t{\bf p}-\frac{{\cal E}}{c^2}{\bf r}\right) = const .$

(37)

Поскольку, с другой стороны, полная энергия $\sum{\cal E}$ тоже сохраняется, то это равенство можно написать в виде

$\frac{\displaystyle \sum {\cal E}{\bf r}}{\displaystyle\sum{\cal E}} - t \frac{\displaystyle c^2\sum{\bf p}}{\displaystyle\sum{\cal E}} = const .$

(38)

Отсюда мы видим, что точка с радиус-вектором

${\bf R}=\frac{\displaystyle \sum {\cal E}{\bf r}}{\displaystyle\sum{\cal E}} ,$

(39)

равномерно движется со скоростью

${\bf V} = \frac{\displaystyle c^2\sum {\bf p}}{\displaystyle \sum{\cal E}} .$

(40)

Эта скорость есть не что иное, как скорость движения системы как целого, отвечающая по формуле (5) ( ${\bf v}=c^2{\bf p}/{\cal E}$ ) ее полным энергии ( $\sum{\cal E}$ ) и импульсу ( $\sum{\bf p}$ ) (который также сохраняется).

Формула (39) дает релятивистское определение координат центра инерции системы. Если скорости всех частиц малы по сравнению со скоростью света c, то можно приближенно положить ${\cal E}=m_0c^2$ , и тогда вместо (39) имеем обычное классическое выражение

${\bf R}=\frac{\sum m_0{\bf r}}{\sum m_0} .$

(41)

Обратим внимание на то, что компоненты вектора R, определяемого формулой (39), не составляют пространственных компонент какого-либо 4-вектора и поэтому при преобразовании системы отсчета не преобразуются как координаты какой-либо точки. Поэтому центр инерции одной и той же системы частиц по отношению к различным системам отсчета — это различные точки.

Распад частиц

Рассмотрим самопроизвольный распад тела с массой M₀ на две части с массами m₁₀ и m₂₀. Закон сохранения энергии при распаде, примененный в системе отсчета, в которой тело покоится, дает

$M_0c^2={\cal E}_{10}+{\cal E}_{20} ,$

(42)

где ${\cal E}_{10}$ и ${\cal E}_{20}$ — энергии разлетающихся частей. Поскольку

${\cal E}_{10} > m_{10}c^2 , {\cal E}_{20} > m_{20}c^2 ,$

(43)

то закон сохранения энергии может выполняться, лишь только если

M₀ > m₁₀ + m₂₀ ,

(44)

т.е. тело может самопроизвольно распадаться на части, сумма масс покоя которых меньше массы тела.

Наоборот, если

M₀ < m₁₀ + m₂₀ ,

(45)

то тело устойчиво по отношению к данному распаду и самопроизвольно не распадается. Для инициирования распада надо было бы в этом случае сообщить телу извне энергию, равную как минимум его энергии связи

(m₁₀+m₂₀–M₀)c² .

(46)

Наряду с законом сохранения энергии при распаде должен выполняться закон сохранения импульса, т.е. сумма импульсов разлетающихся частей, как и первоначальный импульс тела, равна нулю:

p₁₀ + p₂₀ = 0 , или p²₁₀ = p²₂₀.

(47)

Но поскольку в релятивистской механике $p^2={\cal E}^2/c^2-m_0^2c^2$ , то, следовательно

${\cal E}^2_{10}-m^2_{10}c^4 = {\cal E}^2_{20}-m^2_{20}c^4 .$

(48)

В результате мы приходим к системе из двух уравнений

$\begin{array}{rcl} {\cal E}_{10}+{\cal E}_{20} & = & M_0c^2 ,\\[5pt] {\cal E}^2_{10}-{\cal E}^2_{20} & = & \left(m^2_{10}-m^2_{20} \right)c^4 , \end{array}$

(49)

из которых можно найти энергии разлетающихся частей

${\cal E}_{10}=\frac{M_0^2+m^2_{10}-m^2_{20}}{2M_0}c^2 , {\cal E}_{20}=\frac{M_0^2-m^2_{10}+m^2_{20}}{2M_0}c^2 .$

(50)

Введем кинетическую энергию

$K={\cal E}-m_0c^2$

(51)

как разность между полной энергией и энергией покоя частицы. С помощью этой величины закон сохранения энергии (42) можно представить в виде

$M_0c^2={\cal E}_{10}+{\cal E}_{20}= K_{10}+m_{10}c^2+K_{20}+m_{20}c^2 ,$

(52)

или

K₁₀+K₂₀ = (M₀–m₁₀–m₂₀)c² .

(53)

В чем польза этого соотношения? Дело в том, что кинетическая энергия может быть преобразована в другие формы энергии, например, в тепло или в излучение и т.д. На этом принципе основана работа атомной бомбы — деление ядер урана с высвобождением огромного количества энергии.

Совместное сохранение энергии и импульса налагает довольно серьезные ограничения на ядерные реакции или на акты взаимодействия при столкновениях частиц. Например, фотон высокой энергии (гамма-квант) может породить электронно-позитронную пару по реакции

γ→ e^– + e⁺

(54)

при условии, что его энергия превышает величину

${\cal E}_{\gamma}>2m_{e0}c^2\approx 10^6 \mbox{эв} = 1 \mbox{Мэв}$

(55)

(массы покоя электрона и позитрона равны).

В свободном пространстве, однако, эта реакция не может осуществиться ни при какой энергии, так как не может быть обеспечен закон сохранения импульса. Рассмотрим реакцию в системе отсчета, в которой центр масс позитрона и электрона покоится. В этой системе сумма импульсов позитрона и электрона равна нулю

${\bf p}_{e^{-}} + {\bf p}_{e^{+}} = 0 .$

(56)

Но в этой системе импульс налетающего фотона не равен нулю, так как не существует системы отсчета, в которой импульс фотона мог бы исчезнуть. Таким образом,

${\bf p}_{\gamma} \ne {\bf p}_{e^{-}} + {\bf p}_{e^{+}} = 0 ,$

(57)

и реакция не имеет места. Но если эта реакция невозможна в одной системе отсчета, то она невозможна и ни в какой другой системе.

Эта реакция возможна лишь вблизи другой частицы, например, вблизи ядра атома, так как тогда ядро может взять на себя изменение импульса. Оно это делает, толкая своим кулоновским полем заряженные частицы:

${\bf p}_{\gamma}+{\bf p}_{\rm яд}={\bf p}'_{\rm яд} + {\bf p}_{e^{-}} + {\bf p}_{e^{+}} .$

(58)

При этом реакция изменяет импульс ядра, но не производит в нем никаких других изменений, так что ядро действует как очень простой катализатор. Начальный импульс ядра может быть при этом равен нулю.

Без участия ядра такая реакция возможна лишь при наличии двух γ квантов

2γ ↔ e^–+e⁺ .

(59)

Соответственно возможна и обратная реакция, при которой электрон и позитрон аннигилируют с образованием двух γ квантов.

Звездные реакции с превращением энергии

Важнейшим источником энергии Солнца и большинства звезд является ядерное сжигание протонов с образованием ядер атома гелия. Выпишем ниже массы частиц, участвующих в реакции. В физике элементарных частиц массы принято измерять не в граммах, а в энергетических единицах, чаще всего в электрон-вольтах, которые получаются, если массу частицы помножить на квадрат скорости света. В этих единицах

$\begin{array}{lcl} m_e & = & 0{,}511 \mbox{Мэв} ,\\[5pt] M_p & = & 938{,}1 \mbox{Мэв}, \\[5pt] M_n & = & 939{,}5 \mbox{Мэв}, \\[5pt] M_{\rm He^4} & = & 3728 \mbox{Мэв} . \end{array}$

(60)

(напомним, что свободный нейтрон нестабилен и распадается примерно через 15 минут на протон, электрон и антинейтрино: $n→ p+e^- + \tilde\nu_e$ ). Отсюда следует, что масса 4 протонов больше, чем масса ядра атома гелия, примерно на 50 электронных масс:

$4M_p-M_{\rm He^4} = 24{,}4 \mbox{Мэв}\approx 50 m_e .$

(61)

Поэтому эта реакция безусловно выгодна с энергетической точки зрения.

В центре Солнца температура составляет примерно 2· 10⁷ K. Предполагается, что при этой температуре среди ядерных процессов преобладает следующая совокупность реакций

$\begin{array}{rcl} H^1+p & = & H^2+e^+ + \mbox{нейтрино}, \\[5pt] H^2+p & = & He^3 + \gamma, \\[5pt] He^3 + He^3 & = & He^4 + 2H^1 . \end{array}$

(62)

Итоговый результат заключается в сгорании водорода и образовании гелия — He⁴. Следует отметить, что в первой стадии выделяется нейтрино, так что Солнце является мощным источником нейтрино. С веществом эти частицы взаимодействуют очень слабо; таким образом, почти все нейтрино, образующиеся в звездных ядерных реакциях, улетают в космическое пространство. Они способны переносить до 10% выделяемой Солнцем энергии.

Комптон-эффект

Комптон-эффект — это есть неупругое рассеяние света на электроне, в результате которого меняется частота света.

Рис. 2. Эффект Комптона.

Для простоты рассмотрим эту задачу в той системе отсчета, в которой электрон до столкновения покоился (рис 3).

Рис. 3. Комптон эффект в системе покоя электрона.

На рис. 3 угол θ — есть угол отклонения фотона от первоначального направления движения.

Запишем закон сохранения 4-импульса в процессе рассеяния

$p^i_{\gamma} + p^i_e = p^{\prime i}_{\gamma} + p^{\prime i}_e ,$

(63)

где индекс i — свободный индекс, обозначающий проекцию 4-импульса и пробегающий значения 0, 1, 2, 3. Уравнение (63) можно переписать в виде

$p^i_{\gamma}+p^i_e-p^{\prime i}_{\gamma} = p^{\prime i}_e .$

(64)

Возводя последнее равенство в квадрат, получаем

$p^i_{\gamma}p_{\gamma i} + p^i_e p_{e i} + p^{\prime i}_{\gamma} p'_{\gamma i} +2p^i_{\gamma}p_{e i} - 2p^i_{\gamma} p'_{\gamma i} - 2p^i_ep'_{\gamma i} = p^{\prime i}_e p'_{e i} .$

(65)

Для фотона

$p^i_{\gamma}p_{\gamma i} = p^{\prime i}_{\gamma}p'_{\gamma i} = 0 ,$

(66)

а для электрона

$p^i_ep_{e i} = p^{\prime i}_e p'_{e i} = m_e^2c^2 .$

(67)

В результате уравнение (65) приобретает вид:

pⁱ_γp_e i = pⁱ_γp'_γ i + pⁱ_ep'_γ i ,

(68)

или, подставляя компоненты получаем

$\frac{{\cal E}_{\gamma}}{c} m_ec = \frac{{\cal E}_{\gamma}}{c} \frac{{\cal E}'_{\gamma}}{c} - \frac{{\cal E}_{\gamma}}{c} \frac{{\cal E}'_{\gamma}}{c} \cos\theta + m_ec \frac{{\cal E}'_{\gamma}}{c} .$

(69)

Отсюда находим энергию рассеянного фотона

${\cal E}'_{\gamma} = \frac{\displaystyle m_ec^2}{\displaystyle 1-\cos\theta + \frac{m_ec^2}{{\cal E}_{\gamma}}} < {\cal E}_{\gamma} .$

(70)

Она, как этого и следовало ожидать, меньше энергии налетающего фотона. Но в случае ${\cal E}_{\gamma}\ll m_ec^2$ это изменение невелико и рассеяние является практически упругим. Эффект изменения энергии (частоты) кванта заметен для фотонов больших энергий, сравнимых с энергией покоя электрона m_ec². Этот эффект наблюдался в 1923 г. как изменение длины волны при рассеянии рентгеновского излучения.

Антипротонный порог

В качестве следующего примера рассмотрим задачу о пороговой энергии, необходимой для образования протон-антипротонной пары, когда неподвижные протоны (мишень) бомбардируются протонами высоких энергий (бэватрон в Беркли):

p+p = p+p+(p+p) ,

(71)

где антипротон обозначен нами через p. Энергия покоя протон-антипротонной пары составляет 2M_pc². В системе центра масс кинетическая энергия должна быть не меньше, чем 2M_pc². К этому надо прибавить энергию покоя M_pc² каждого из исходных протонов, так что минимальная полная энергия в системе центра масс должна составлять

${\cal E}_{\rm полн (ц.м.)} = 4M_pc^2$

(72)

(все 4 частицы после реакции покоятся).

Рассчитаем, чему соответствует эта энергия в лабораторной системе. Как мы знаем, величина ${\cal E}^2-p^2c^2$ , где ${\cal E}$ —энергия, а p — импульс системы, является Лоренц-инвариантной, т.е. е\"е значение не зависит от выбора системы отсчета. Запишем этот инвариант для системы из двух протонов в двух системах отсчета, лабораторной и системе центра масс

$\underbrace{({\cal E}_1+{\cal E}_2)^2 - ({\bf p}_1+{\bf p}_2)^2c^2}_{\rm лаб.} = \underbrace{({\cal E}'_1+{\cal E}'_2)^2 - ({\bf p}'_1+{\bf p}'_2)^2c^2}_{\rm ц.м.} .$

(73)

Поскольку в лабораторной системе второй протон покоится, то ${\cal E}_2=M_pc^2$ , а p₂ = 0. В системе центра масс энергия ${\cal E}'_1+{\cal E}'_2={\cal E}_{\rm полн (ц.м.)}$ , а p'₁+p'₂ = 0. С учетом этого равенство (73) можно переписать в виде

${\cal E}^2_1+M_p^2c^4+2{\cal E}_1M_pc^2-p_1^2c^2={\cal E}^2_{\rm полн (ц.м.)} .$

(74)

Принимая во внимание, что ${\cal E}^2_1-p^2_1c^2=M_p^2c^4$ , получим

$M_p^2c^4+M_p^2c^4+2{\cal E}_1M_pc^2 = {\cal E}^2_{\rm полн (ц.м.)}$

(75)

или

$2M_pc^2({\cal E}_1+M_pc^2)={\cal E}^2_{\rm полн (ц.м.)} .$

(76)

Но ${\cal E}_1+M_pc^2={\cal E}_1+{\cal E}_2={\cal E}_{\rm полн (лаб)}$ , поэтому

${\cal E}_{\rm полн (лаб)} = \frac{\displaystyle {\cal E}^2_{\rm полн (ц.м.)}} {\displaystyle 2M_pc^2}= \frac{(4M_pc^2)^2}{2M_pc^2}=8M_pc^2 .$

(77)

Но в эти 8M_pc² входят 2M_pc² в виде энергии покоя двух протонов. Следовательно, кинетическая энергия, которую надо сообщить налетающему протону, равна 6M_pc². Таким образом, пороговая энергия составляет

6M_pc² = 6· 0,938 Гэв≈ 5,63 Гэв.

(78)

Если налетающий протон сталкивается с протоном, связанным в ядре, то пороговая энергия понижается, так как протон-мишень связан. Экспериментально наблюдаемая пороговая энергия образования антипротона составляет 4,4 Гэв, что на 1,2 Гэв меньше вычисленной для свободного покоящегося протона-мишени. Этот порог в лабораторной системе отсчета представляет собой минимальную кинетическую энергию, которой должен обладать налетающий протон, чтобы вызвать рассматриваемую реакцию.

¹ Таковы световые кванты — фотоны и, возможно, нейтрино.

² Для этого в первой формуле уравнения (24) надо положить ω' = ω₀ и k_x = kcosα = (ω/c)cosα.