Нашей задачей сейчас будет нахождение формул преобразования от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е. формул, по которым, зная координаты
В классической механике, как известно, этими преобразованиями являются преобразования Галилея (см. рис. 6):
(18) |
Рис. 6. Две инерциальные системы отсчета. |
Однако они не удовлетворяют требованию теории относительности, так как не оставляют инвариантными интервалы между событиями. Релятивистские же формулы преобразования мы будем искать из требования, чтобы они оставляли интервалы инвариантными.
Как мы уже видели ранее, интервал между двумя событиями можно рассматривать как расстояние между соответствующими двумя мировыми точками в четырехмерной системе координат. Мы, следовательно, можем сказать, что искомое преобразование должно оставлять неизменными все длины в четырехмерном пространстве
Всякое вращение в четырехмерном пространстве можно разложить на шесть независимых вращений в плоскостях 2
(19) |
(подобно тому, как всякое вращение в обычном трехмерном пространстве можно разложить на три вращения в плоскостях
Рассмотрим поворот в плоскости
(20) |
— квадрат расстояния от точки (
(21) |
так что
| |||
(22) |
Сравнивая последнее выражение с
(23) |
Первым двум равенствам можно удовлетворить автоматически, положив 3
(24) |
поскольку для любого
(25) |
Тогда третье запишется в виде
(26) |
Откуда следует, что
(27) |
Параметр
Мы ищем формулы преобразования от инерциальной системы отсчета
Рассмотрим движение в системе
(28) |
Разделив одно на другое, получим
(29) |
Но
(30) |
Учитывая, что
(31) |
получаем
(32) |
или окончательно
(33) |
Это и есть искомые формулы преобразования. Они носят название формул преобразования Лоренца и имеют для дальнейшего фундаментальное значение.
Обратные формулы, выражающие
Из (33) следует, что при предельном переходе к классической механике
Пусть в системе отсчета
(34) |
Длина линейки в системе
(35) |
Вычитая
(36) |
Собственной длиной стержня называется его длина в той системе отсчета, в которой он покоится. Обозначим ее через
(37) |
Таким образом, самую большую длину стержень имеет в той системе отсчета, где он покоится. Длина его в системе, в которой он движется со скоростью
Поскольку поперечные размеры тела при его движении не меняются, то объем тела сокращается по аналогичной формуле:
(38) |
где есть собственный объем тела.
Из преобразований Лоренца можно найти уже известные нам результаты относительно собственного времени. Пусть в системе
(39) |
Вычитая одно из другого:
(40) |
или — в полном соответствии с предыдущими результатами.
1 Так, если мы полетим к далеким звездам со скоростью, близкой к скорости света, то расстояние до них нам будет казаться меньше, чем на Земле, и в пределе
2 С этой точки зрения бесконечно малый поворот в четырехмерном пространстве не является вектором, так как четырехмерный вектор должен иметь четыре, а не шесть компонент.
3 По определению: