Основные представления молекулярно-кинетической теории газов, как известно, базируются на модели идеального газа. Эта простая модель позволяет объяснить многие свойства газов в широком интервале давлений и температур.
Прежде всего, надо освоиться с порядком величин, характеризующих молекулярную теорию газов. Много ли молекул находится, скажем, в единице объема воздуха? Лучше всего за единицу объема взять не
Ранее была получена формула
связывающая давление, оказываемое газом на стенки сосуда с числом молекул в единице объема n и абсолютной температурой Т. Величина k - это постоянная Больцмана, одна из универсальных физических констант, надежно определенная опытным путем. Подсчитаем число молекул воздуха при нормальных условиях, то есть при давлении в 1 атмосферу, что соответствует
Это число называется числом Лошмидта. С чем сравнить это число? Если бы в
В технике очень часто используются приборы, в которых создается вакуум, то есть откачивается газ. Самые совершенные вакуумные насосы откачивают воздух до давления
Обсудив этот вопрос, перейдем к рассмотрению средней длины свободного пробега. Раньше было получено, что молекулы в единицу времени сталкиваются в среднем z раз и эта величина равна
где r - радиус молекулы, v - средняя скорость ее движения, n - число молекул в единице объема. Число это легко подсчитать. По порядку - это миллиарды столкновений в единицу времени при нормальных условиях.
Путь, проходимый молекулой между двумя столкновениями, называется средней длиной свободного пробега.
Получим среднюю длину свободного пробега, поделив путь, проходимый ею за единицу времени, на число столкновений в единицу времени. Но этот путь численно равен скорости, следовательно, длина свободного пробега равна
При этом расчете радиус молекулы, полученный экспериментально . Длина свободного пробега примерно равна миллионной доли миллиметра. Это при нормальных условиях. Если же уменьшать давление, то будет уменьшаться n-число молекул в единице объема. Но
Умножим левую и правую часть основного уравнения молекулярно-кинетической теории на объем одного моля газа
Отсюда можно получить среднюю квадратичную скорость молекул, которая приписывается газовым молекулам, чтобы объяснить производимое ими давление.
Действительно, в этом уравнении величины Р и V легко измеримы, величины же
Подсчитаем среднюю квадратичную скорость молекул воздуха при нормальных условиях:
Как велика эта скорость? Сравним ее со скоростью звука при тех же условиях. Скорость звука, равная 332 м/с, меньше скоростей молекул воздуха. В соответствии с расчетной формулой молекулы газа с меньшей молярной массой имеют большую скорость. Так для водорода при тех же условиях средняя квадратичная скорость равна 1840 м/с.
Пуля в стволе винтовки разгоняется ударами молекул газа, получающегося при взрыве пороха, поэтому создатели оружия стремятся увеличить температуру газа, толкающего пулю. Пуля вылетает из ствола, со скоростью большей скорости звука, но меньшей средней квадратичной скорости молекул газа.
При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории предполагалось, что скорости молекул неодинаковы. При рассмотрении вопроса о скоростях молекул Максвелл исходил из основной идеи, заключающейся в том, что сколь бы велико ни было число молекул, сколь бы ни были разнообразны условия столкновений молекул друг с другом, в среднем весь этот хаос должен удовлетворять одному непременному условию: состояние газа не должно меняться со временем. Это, в свою очередь, означает, что распределение молекул по скоростям должно быть не произвольным, а вполне определенным. Нельзя ставить вопрос о том, сколько молекул обладает заданной скоростью. Дело в том, что число молекул, имеющих математически точно заданную скорость, равно нулю. Число различных значений скорости бесконечно большое, а число молекул, хотя и велико, но конечно. Поэтому вопрос надо ставить следующим образом: какая часть, или лучше, какая доля молекул (от общего числа) обладает скоростями, лежащими в некотором интервале вблизи заданной скорости?
Пусть в единице объема находится n молекул. Обозначим через dn число молекул, обладающих скоростью в интервале от v до v + dv . Очевидно, что эти dn тем больше, чем шире этот интервал,
Величина справа в этой формуле - доля молекул, скорости которых лежат в интервале от v до
Максвелл получил теоретически эту функцию. Вывод ее требует применения высшей математики, поэтому приводим ее без вывода.
График этой функции представлен на рис.9. Максимум этой функции определяет наивероятнейшую скорость молекул - скорость, около которой группируются скорости наибольшего числа молекул газа. Наивероятнейшая скорость или .
|
По кривой распределения можно графически определить относительное число молекул, обладающих скоростями в любом заданном интервале. Это число выражается площадью заштрихованной полосы, основанием которой является заданный интервал скоростей. Тогда, очевидно, что площадь, ограниченная кривой и осью скоростей, равна единице.
Распределение молекул по скоростям зависит от температуры газа. На рис.10 приведены кривые распределения молекул азота для температур
Площади, ограниченные этими кривыми и осью скоростей одинаковы для разных температур. Естественно, что максимумы кривых при увеличении температуры понижаются.
Кривые, отвечающие разным температурам, могут быть приведены к одной, если по оси ординат откладывать не скорости v, а относительную скорость.
В качестве примера рассмотрим такую задачу. Какая доля молекул кислорода обладает скоростью, лежащей между и при температуре 300 К? Сначала определим наивероятнейшую скорость:
Согласно графику при функция . Величина . Величина . Отсюда искомое число , то есть 0,41 % молекул кислорода при
Первое непосредственное опытное определение скоростей газовых молекул было проведено Штерном в 1920 году. В сильно разреженное пространство, то есть в высокий вакуум, помещалась платиновая проволока D, покрытая слоем серебра. Проволока натянута по оси двух цилиндров. Во внутреннем цилиндре имелась продольная щель (рис.12). При нагревании платиновой проволоки током серебро испарялось, получался молекулярный пучок, вылетающий из щели и достигающий внешнего цилиндра радиуса R в месте противоположном щели. Серебро, осаждаясь на внутренней поверхности цилиндра в точке А, оставляло след - узкую полоску. Затем весь прибор приводился в быстрое вращение вокруг оси, проходящей через проволоку в направлении, указанном стрелкой. След от пучка теперь попадал в точку В. |
Легко связать это смещение S со скоростью молекул v. Молекулы достигают стенки за время t, равное . За это время каждая точка на стенке сосуда пройдет путь
По этой формуле и рассчитывалась скорость. Но след в точке В был не таким, как в точке А, он был размазан. Этого и следовало ожидать, так как атомы серебра вылетают с различными скоростями. Измерение плотности осевшего серебра позволило подтвердить справедливость распределения Максвелла молекул по скоростям.